Question

trzeba udowodnić że:

(3^53) + (5^35)

jest podzielne przez 8

prawdopodobnie jest to straszny banał jednak nie mogę zauważyć rozwiązania.

Jest to zadanie z konkursu dla liceum. Nie można było używać kalkulatora dlatego raczej nei chodzi tu o sprawdzenie 3 ostatnich cyfr.

pozdrawiam JM

Answer 1

Z twierdzenie Eulera o liczbach względnie pierwszych wiemy że:

3^4 = 1 mod 8 

3^53 = 3^(4*13)*3 = 3 mod 8

 

oraz:

5^4 = 1 mod 8

5^35 = 5^(4*8)*5^3 = 125 = 5 mod 8

 

(3^53) + (5^35) = 3 + 5 = 0 mod 8