Question

Trzeba ogrodzic siatka dlugosci 120 m prostokatny plac przylegajacy jednym bokiem do muru. jakie wymiary powinien miec ten plac , aby jego pole bylo najwieksze ?

Answer 1

A, b długość boków działki
O - długość ogrodzenia działki
P - pole działki

O = 120 m
O = a + 2b (tam, gdzie jest mur nie trzeba siatki), czyli
a + 2b = 120
a = 120 - 2b

P = a*b
P = (120 - 2b)*b = 120b - 2b² = -2b² + 120b

Teraz zgodnie z treścią zadania liczmy dla jakiej wartości b, pole będzie największe. Mamy funkcję wielkości pola w zależności od długości boku b.
b = x
P = f(x) = y
stąd
y = -2x² + 120x
Szukamy największej wartości funkcji.
Znajdujemy współrzędne wierzchołka paraboli:
Δ = b² - 4ac
Δ = 120² - 4*(-2)*0 = 14400
xw = -b/2a
xw= -120 / 2*(-2) = -120 / -4 = 30
yw = -Δ / 4a
yw = -14400 / 4*(-2) = -14400 / - 8 = 1800

Ponieważ współczynnik -2 < 0 to ramiona paraboli są skierowane w dół, a to oznacza, że funkcja przyjmuje największą wartość dla b, które jest pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli, czyli dla x = 30
x = b
stąd b = 30
a = 120 - 2b
a = 120 - 2*30 = 120 - 60 = 60 (długość boku działki równoległa do muru)
P = 60 * 30 = 900 m²
Odp. Działka będzie miała największe pole jeśli jej wymiary będą wynosić 60 m i 30 m.