TRYGONOMETRIA! Proszę o pomoc :)1. Wiedząc, że tg = oblicz wartość wyrażenia: .2. Oblicz sin α ką.... Question from @kochamafryke

November 2018 1 3 Report

TRYGONOMETRIA! Proszę o pomoc :)

1. Wiedząc, że tg $\beta$ = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ oblicz wartość wyrażenia: $\frac{4sin \alpha + \sqrt{2} cos \alpha}{2 sin \alpha + 3cos \alpha}$ .

2. Oblicz sin α kąta ostrego, dla którego tg jest 2 razy większy od cos. Oszacuj miarę tego kąta z dokładnością do 1 stopnia.

makmykxyn

Trygonometria:

Teoria: $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}; ctg\alpha = \frac{1}{tg\alpha}; sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ .

Zakładam, że podana jest wartość $tg\alpha$ .

Najprostsza metoda rozwiązania: Wyznaczyć $sin\alpha, cos\alpha$ , a następnie podstawić do wzoru oczekiwanego wyrażenia. Dokonać rachunków.

$(tg\alpha) = \frac{3 * \sqrt{2}}{4} \implies \frac{(sin\alpha)}{(cos\alpha)} = \frac{3 * \sqrt{2}}{4} \implies$ .

$\implies 4 * (sin\alpha) = 3 * \sqrt{2} * (cos\alpha) \implies (sin\alpha) = \frac{3 * \sqrt{2} * (cos\alpha)}{4} \implies$ .

BŁĄD!!!: $(sin^{2}\alpha) + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies (3 * \sqrt{2} * (cos\alpha))^{2} + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies 9 * 2 * (cos^{2}\alpha) + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies 18 * (cos^{2}\alpha) + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies 19 * (cos^{2}\alpha) = 1 \implies (cos^{2}\alpha) = \frac{1}{19}$ .

$\implies (cos\alpha) = \sqrt{\frac{1}{19}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}} = \frac{1}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} * \sqrt{19}} \implies (cos\alpha) = \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$(sin^{2}\alpha) + \frac{1}{19} = 1 \implies (sin^{2}\alpha) = 1 - \frac{1}{19} = \frac{19}{19} - \frac{1}{19} = \frac{19 - 1}{19} = \frac{18}{19}$ .

$(sin^{2}\alpha) = \frac{18}{19} \implies (sin\alpha) = \sqrt{\frac{18}{19}} = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{9 * 2}}{\sqrt{19}} = \frac{3 * \sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{3 * \sqrt{2} * \sqrt{19}}{\sqrt{19} * \sqrt{19}} = \frac{3 * \sqrt{2 * 19}}{19} = \frac{3 * \sqrt{38}}{19}$ .

Oczekiwane wyrażenie: $\frac{4 * (sin\alpha) + \sqrt{2} * (cos\alpha)}{2 * (sin\alpha) + 3 * (cos\alpha)}$ . // Podstawianie wyznaczonych wartości.

$\frac{4 * \frac{3 * \sqrt{38}}{19} + \sqrt{2} * \frac{\sqrt{19}}{19}}{2 * \frac{3 * \sqrt{38}}{19} + 3 * \frac{\sqrt{19}}{19}} = \frac{\frac{12 * \sqrt{38}}{19} + \frac{\sqrt{38}}{19}}{\frac{6 * \sqrt{38}}{19} + \frac{3 * \sqrt{19}}{19}} =$

$= \frac{(12 + 1) * \sqrt{38}}{19}} * \frac{19}{6 * \sqrt{38} + 3 * \sqrt{19}} = \frac{13 * \sqrt{38} * 19}{19 * (6 * \sqrt{2 * 19} + 3 * \sqrt{19})} = \frac{13 * \sqrt{2 * 19}}{6 * \sqrt{2} * \sqrt{19} + 3 * \sqrt{19}} = \frac{13 * \sqrt{2} * \sqrt{19}}{\sqrt{19} * (6 * \sqrt{2} + 3)} = \frac{13 * \sqrt{2}}{6 * \sqrt{2} + 3}$ . // A dalej nie wiem, czy to można jakoś rozwinąć.

Poszukujemy: $(sin\alpha)$ . O kącie $\alpha$ wiemy, że spełnione jest dla niego równanie: $(tg\alpha) = 2 * (cos\alpha)$ .

$\frac{(sin\alpha)}{(cos\alpha)} = 2 * (cos\alpha) \implies (sin\alpha) = 2 * (cos\alpha) * (cos\alpha) \implies (sin\alpha) = 2 * (cos^{2}\alpha) \implies$ .

$(2 * (cos^{2}\alpha))^{2} + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies 4 * (cos^{4}\alpha) + (cos^{2}\alpha) = 1 \implies$ .

Podstawienie: $(cos^{2}\alpha) = t$ .

$4t^{2} + t - 1 = 0 \implies \Delta = 1^{2} - 4 * 4 * (-1) = 1 + 16 = 17$ .

$t_{1} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4 * 2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{8}$ .

$t_{2} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4 * 2} = \frac{-1 - \sqrt{17}}{8}$ . // Uwaga!: $(cos^{2}\alpha) = t$ nie może być ujemne.

$(sin\alpha) = 2 * (cos^{2}\alpha) \implies (sin\alpha) = 2 * \frac{-1 + \sqrt{17}}{8} = 2 * \frac{-1 + \sqrt{17}}{4 * 2} = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$ . // Kąta niestety nie potrafię wyznaczyć. :(

Podczas wykonywania obliczeń starałem się nie popełnić błędów merytorycznych ani rachunkowych, jednak pozostaję otwarty na wszelką konstruktywną krytykę.

Otrzymanych wyników nie jestem w 100% pewien, jednak ich "nietypowość" [wyników] jest cechą charakterystyczną zadań szkolnych z zakresu trygonometrii. xD

W razie czego, polecam się pamięci. :)