Question

Trójkąt równoboczny ABC w którym A=(2;6) wpisano w okrąg o równaniu x^2+y^2-12x-8y+32=0. Oblicz współrzędne B,C

Answer 1

(x-6)²-36+(y-4)²-16+32=0

(x-6)²+(y-4)²=20

S(6,4), r=√20=2√5

zwiazek wysokosc trojkata rownobocznego i promienia okregu opisanego na nim

R=2/3h, h=a√3/2

2/3*a√3/2=R

a√3/3=2√5

a=2√5:√3/3=6√5/√3=6√15/3=2√15

 

Wyznaczymy wspolrzedne punktow B i C z ukladu rownan, punkty te leza na okregu i sa oddalone od A o 2√15

 

x²+y²-12x-8y+32=0

(x-2)²+(y-6)²=(2√15)²=60

 

x²+y²-12x-8y+32=0

x²+y²-4x-12y-20=0  - odejmujemy w kolumnach

_______________

-8x+4y+52=0

4y=8x-52 /:4

y=2x-13  za y podstawiam do rownania okregu

 

x²+(2x-13)²-12x-8(2x-13)+32=0

x²+4x²-52x+169-12x-16x+104+32=0

5x²-40x+305=0 /:5

x²-16x+61=0

 

Δ=16²-4*61=256-244=12

√Δ=√12=2√3

 

x=(16-2√3)/2=8-√3  lub x=8+√3

y=2(8-√3)-13=3-2√3 lub y=3+2√3

 

Odp. B(8-√3, 3-2√3), C(8+√3, 3+2√3)

 

 

Answer 2

ΔABC - równoboczny

A=(2;6)

C,D = ? 

 

Równanie okręgu:

x²+y²-12x+8y+32 = 0

(x-6)²-36+(y-4)²-16+32 = 0

(x-6)²+(y-4)² -20 = 0

(x-6)²+(y-4)² = 20

S(6;4)

R = √20 = 2√5

 

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym R = 2/3h,

gdzie h = a√3/2  - wysokość trójkata równobocznego

2/3 *a√3/2 = R

a√3/3 = 2√5

a = 2√5/(√3/3) = 6√5/√3 * √3/√3 = 6√15/3 = 2√15

 

Punkt B i C leżą na okregu i są oddalone od punktu A o r = 2√15

 

x²+y²-12x-8y+32 = 0

(x-2)²+(y-6)² = (2√15)²

(x-2)²+(y-6)² = 60

 

x²+y²-12x-8y+32 = 0

x²+y²-4x-12y-20 = 0

-------------------------- - (odejmujemy stronami)

        -8x+4y-52 = 0

         4y = 8x-52  /:5

          y = 2x-13

          ------------

x²+(2x-13)²-2x-8(2x-13)+32 = 0

x²+4x²-52x+169-12x-16x+104+32 = 0

x²-16x+61 = 0

Δ = b²-4ac = 256-244 = 12

√Δ = √12 = 2√3 

x1 = (-b-√Δ)/2a = (16-2√3)/2 = 8-√3

x2 = (-b+√Δ)/2a = (16+2√3)/2 = 8+√3

 

y1 = 2(8-√3)-13 = 16-2√3-13 = 3-2√3

y2 = 2(8+√3)-13 = 16+2√3-13 = 3+2√3

 

B=(8-√3; 3-2√3)

=============

C=(8+√3; 3+2√3)

==============