Trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° jest opisany na okręgu o promieniu 4. Oblicz długość boków te.... Question from @Danniell

December 2018 1 7 Report

Trójkąt prostokątny o kącie ostrym 30° jest opisany na okręgu o promieniu 4. Oblicz długość boków tego trójkąta.

ghe Trójkąt CFO jest przystający do trójkąta COE. (cecha kkk)
(dwusieczna dzieli kąt na pół, promień okręgu jest prostopadły do boku)

Trójkąt FAO jest przystający do trójkąta ADO. (cecha kkk)
(dwusieczna dzieli kąt na pół, promień okręgu jest prostopadły do boku)

Trójkąt EOB jest przystający do trójkąta ODB. (cecha kkk)
(dwusieczna dzieli kąt na pół, promień okręgu jest prostopadły do boku)

Oznaczenia jak na rysunku.

Obliczam $x$
(z trójkąta FAO)
$tg30^o= \frac{r}{x}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}= \frac{4}{x}$

$\sqrt{3}x =3 \cdot 4$

$\sqrt{3}x =12\ /: \sqrt{3}$

$x = \frac{12}{ \sqrt{3}}$

$x = \frac{12 \sqrt{3} }{3}$

$x =4\sqrt{3}$

Obliczam $|CA|$
$|CA|=|CF|+x$

$|CA|=4+4\sqrt{3}$

Obliczam $y$
(z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABC)
$|CB|^2+|CA|^2=|AB|^2$

$(4+y)^2+(4+4\sqrt{3})^2=(4\sqrt{3}+y)^2$

$16+8y+y^2+16+32 \sqrt{3}+48=48+8y\sqrt{3}+y^2$

$8y+y^2-8y\sqrt{3}-y^2=48-16-16-32 \sqrt{3}-48$

$8y-8y\sqrt{3}=-32 \sqrt{3}-32\ /:8$

$y-y\sqrt{3}=-4\sqrt{3}-4$

$y(1-\sqrt{3})=-4(\sqrt{3}+1)\ /:1-\sqrt{3}$

$y= \frac{-4(\sqrt{3}+1)}{1-\sqrt{3}}$

$y= \frac{-4(\sqrt{3}+1)^2}{(1-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}$

$y= \frac{-4(3+2\sqrt{3}+1)}{1-3}$

$y= \frac{-4(4+2\sqrt{3})}{-2}$

$y= 2(4+2\sqrt{3})$

$y= 8+4\sqrt{3}$

Obliczam $|CB|$
$|CB|=|CE|+y$

$|CB|=4+8+4\sqrt{3}$

$|CB|=12+4\sqrt{3}$

Obliczam |AB|
$|AB|=x+y$

$|AB|=4\sqrt{3}+8+4\sqrt{3}$

$|AB|=8+8\sqrt{3}$

0 votes Thanks 0