Question

Tomek ma w pudełku 71 kulek. W jednym ruchu wolno mu wyjąć z pudełka dokładnie 30 kulek
lub dołożyć do pudełka 18 kulek spośród wcześniej wyjętych. Tomek może powtarzać powyższe
operacje tyle razy, ile chce. Jaka jest najmniejsza możliwa liczba kulek w pudełku?

Answer 1

Odpowiedź:

              5 kulek

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rozpisując kolejne możliwe działania Tomka mamy:

Liczba kulek              Liczba wyjętych/                  Liczba kulek

w pudełku                dołożonych kulek                 poza pudełkiem

     71

     41                               [71] - 30                                        30

     11                                [41]  - 30                                       60

     29                              [11]  + 18                                        42

     47                             [29]  + 18                                        24

     17                              [47]  - 30                                        54  

    35                              [17]  + 18                                        36

      5                             [35]  - 30                                       66  

    23                               [5]  + 18                                        48

    41                               [23]  + 18                                       30

     11                                [41]  - 30                                       60

     

Jeśli zastanawiasz się, czy wykonując dalej ruchy można uzyskać mniejszą liczbę kulek w pudełku, to odpowiedź brzmi nie.

Jeśli zignorujemy warunek, że dokładać możemy tylko kulki wcześniej wyjęte i będziemy dokładać dowolną ilość razy po 18 kulek, to  najmniejszą liczbą kulek w pudełku jaką otrzymamy w danym momencie po wyjęciu ileś razy po 30 będzie reszta z dzielenia wyniku (dodawania po 18) przez 30:

71:30 = 2 r. 11

(71+18):30 = 89:30 = 2 r. 29

(89+18):30 = 107:30 = 3 r. 17

(107+18):30 = 125:30 = 4 r. 5

(125+18):30 = 143:30 = 4 r. 23

(143+18):30 = 161:30 = 5 r. 11

(161+18):30 = 179:30 = 5 r. 29

(179+18):30 = 197:30 = 6 r. 17

(197+18):30 = 215:30 = 7 r. 5

(215+18):30 = 233:30 = 7 r. 23

(233+18):30 = 251:30 = 2 r. 11

Jak widać niezależnie od tego ile razy dodamy 18, to po wyjęciu maksymalnej ilości po 30 kulek, w pudełku zawsze będziemy mieć

11, 29, 17, 5 lub 23 kulki.

Stąd wniosek, że najmniejszą liczbą kulek w pudełku będzie 5.