1. Wysokość graniastosłupa prostego jest równa pierwiastek z 3, a jego podstawą jest trójkąt równoramienny. Dwie przekątne ścian bocznych mają długość 6 i przecinają się pod katem 120 stopni (rysunek 1 w załączniku). Oblicz pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
2.Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa a. Wykaż, że objętość tego ostrosłupa wyraża się wzorem: V=pierwiastek z 2/6 * a^3/tg alfy
gdzie alfa jest kątem zawartym między wysokością a krawędzią boczną ostrosłupa (rysunek 2 w załączniku). Zapisz analogiczny wzór za pomocą a i kąta
a) alfa zawartego pomiędzy krawędzią boczną a przekątną podstawy tego ostrosłupa
b) gammy między wysokością ściany bocznej a płaszczyzną podstawy
nawet jedno zadanie jest mile widziane!:)
1) Rysunek w załączniku.
Dane: h = √3, d = 6 P b = ? P b = ah + 2bh
Z Δ BGD obliczam a i h₁ :
a/2 h₁
--------- = sin60° /·d ---------- = cos60° /·d
d d
a/2 = d·sin60° h₁ = 6 · ½ = 3
a/2 = 6 · √3 /2 /·2
a = 6√3
Z Δ CGD obliczam h₂ : Z Δ BCD obliczam bok b :
h² +h₂² = h₁² b² = h₂² + (a/2)²
3 + h₂² = 9 b² = (√6)² + (6√3 /2 )²
h₂² = 6 /√ b² = 6 + (3√3)²
h₂ = √6 b² = 6 + 27
b² = 33 /√
b = √33
P b = 6√3 · √3 + 2√33 · √3 = 6·3 + 2√99 = 18 +2√(9·11) = 18 + 6√11 = 6(3 + √11) [ j² ]
√2·a³
2) a) Dane: a, α Wykazać, że V = -----------
a√2 6 tgα
IAOI = -------
2 a√2 /2
Z Δ AOS obliczam h : --------------- = tgα /·h
h
a√2
----------- = h · tgα /:tgα
2
a√2 1 a√2
h = ----------- · ---------- = -----------
2 tgα 2 tgα
a√2 a³√2
V = ⅓ · a² · -------------- = ----------------------
2tgα 6 tgα c.n.d.
b) Dane: a, β, V = ? V = ⅓ ·a²·h
Z Δ SOB obliczam h :
h a√2
------------------- = tgβ / · ----------
a√2 2
----------
2 a√2 tgβ
h = ----------------
2
a√2 · tgβ a³ √2 tgβ
V = ⅓ · a² · ------------------- = ---------------------------
2 6
c) Dane: a, γ V = ? V = ⅓ a² h
Z Δ SOE obliczam h: h
---------- = tgγ /· a/2
a /2
h = a/2 · tgγ
a a³ tgγ
V = ⅓ · a² · ------ · tgγ = -------------------
2 6