Rozwiąż równanie w liczbach rzeczywistych: [tex]\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{x-36} =3[/tex].... Question from @Louie314

Louie314 @Louie314

June 2022 1 36 Report

Rozwiąż równanie w liczbach rzeczywistych:
[tex]\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{x-36} =3[/tex]

0AB

Verified answer

Odpowiedź

Rozwiązaniami rzeczywistymi podanego równania są liczby

$\boxed { \displaystyle x_1 = 18 - 5 \sqrt{13} \approx -0,\!02776 } \\\\\boxed { \displaystyle x_2 = 18 + 5 \sqrt{13} \approx ~ 36,\!02776 }$

Szczegółowe wyjaśnienie

Rozwiązanie składa się z następujących kroków:

znalezienia dziedziny równania;
wyeliminowanie wyrazu ∛(x - 36) poprzez przekształcenie i podniesienie obu stron równania do sześcianu (podniesienie do sześcianu obu stron równania nie zmienia liczby rozwiązań rzeczywistych);
dla przejrzystości obliczeń podstawienie nowej zmiennej y³ = x (nie zmienia liczby rozwiązań rzeczywistych) i rozwiązanie równania dla zmiennej y;
wyliczenie zmiennej x mając wartości y.

Dziedziną zmiennej x jest zbiór liczb rzeczywistych.
Uproszczenie równania

$\displaystyle \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x - 36} = 3\\\\\displaystyle \sqrt[3]{x} - 3 = \sqrt[3]{x - 36}\\\\\displaystyle \left( \sqrt[3]{x} - 3 \right)^3 = \left( \sqrt[3]{x - 36} \right)^3\\\\\displaystyle \left( \sqrt[3]{x} \right)^3 - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} - 27 = x - 36\\\\\displaystyle x - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} - 27 = x - 36\\\\\displaystyle ~~~- 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} + ~ 9 = 0$

Podstawienie y³ = x ( czyli y = ∛x )

$\displaystyle - 9 \left( \sqrt[3]{x} \right)^2 + 27 \sqrt[3]{x} + 9 = 0\\\\\displaystyle - 9 y^2 + 27 y + 9 = 0\\\\\\\displaystyle y^2 - 3 y - 1 = 0\\\\\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13\\\\\\\displaystyle y_1 = \dfrac {3 - \sqrt{13}} {2}\\\\\\\displaystyle y_2 = \dfrac {3 + \sqrt{13}} {2}$

Wyliczenie wartości x z otrzymanych rozwiązań dla zmiennej y

$\displaystyle x_1 = y_1^3 = \left( \dfrac {3 - \sqrt{13}} {2} \right)^3 = 18 - 5 \sqrt{13}\\\\\\\displaystyle x_2 = y_2^3 = \left( \dfrac {3 + \sqrt{13}} {2} \right)^3 = 18 + 5 \sqrt{13}$

0AB To co podałeś jest na pewno bardziej eleganckie.

Oba rozwiązania są matematycznie równoważne (dwa razy ponoszenie do sześcianu).

Przyznam, że moje jest bardziej prymitywne, ale sądzę, że dzięki pewnej prostocie łatwiej je wytłumaczyć. Dlatego podałam na początku w punktach jak się liczy, bo myślałam, że komuś to posłuży. Nie wiedziałam, że to był mój egzamin... :-)

P.S.
Gdzie tak ładnie zapisałeś obliczenia? W Wordzie?

Louie314 Nie wiedziałam, że to był mój egzamin... :-)
Nie był - miło zobaczyć inne rozwiązanie (zresztą bardzo trafne i klarowne).
Gdzie tak ładnie zapisałeś obliczenia? W Wordzie?
Tak.

0AB Rozwiązanie, które zniknęło, polegało na podniesieniu do sześcianu obu stron oryginalnego równania, a następnie podstawieniu 3 zamiast
∛x − ∛x − 36
w celu jego uproszczenia do postaci, która może być rozwiązana tak jak równanie kwadratowe.