Oblicz całkę potrójną[tex]\int\limits\int\limits_V\int\limits\frac{1}{x^{2}+ y^{2} } dxdydz[/tex] Gd.... Question from @matiXD12

July 2022 1 7 Report

Oblicz całkę potrójną[tex]\int\limits\int\limits_V\int\limits\frac{1}{x^{2}+ y^{2} } dxdydz[/tex]

Gdzie V to bryła ograniczona powierzchniami:
[tex]\left \{ {{x^{2}+ y^{2}=z } \atop {x\geq 0,~~y\geq 0,~~z\leq 1}} \right.[/tex]

Louie314

Rozwiązanie:

Całka:

$$\iiint\limits^{}_{V}\frac{1}{x^2+y^2} \ dxdydz$

Bryła:

$$\left \{ {{x^{2}+y^{2}=z} \atop {x\geq 0 \wedge y\geq 0 \wedge z\geq 1}} \right.$

Mamy tutaj paraboloidę, która stanowi dolne ograniczenie. Z góry bryła jest ograniczona przez płaszczyznę $z=1$ . Możemy łatwo przejść do całki podwójnej, określając obszar całkowania $D$ na płaszczyźnie. Po przyrównaniu wspomnianych powierzchni otrzymujemy:

$x^{2}+y^{2}=1$

Dodatkowo mamy $x\geq 0 \wedge y\geq 0$ , a więc rozpatrywanym obszarem jest fragment koła o promieniu $1$ w pierwszej ćwiartce układu. Zapiszmy obszar analitycznie:

$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2:x^{2}+y^{2}\leq 1 \wedge x\geq 0 \wedge y\geq 0\}$

Zatem:

$$\iiint\limits^{}_{V}\frac{1}{x^2+y^2} \ dxdydz=\iint\limits^{}_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\Big(1-(x^{2}+y^{2})\Big) \ dxdy$

Wprowadzamy współrzędne biegunowe:

$$\left \{ {{x=r\cos \varphi} \atop {y=r\sin \varphi}} \right.$

$J(r, \varphi)=r$

gdzie:

$0\leq r\leq 1$

$$0\leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}$

Stąd:

$$\iint\limits^{}_{D} \frac{1}{x^{2}+y^{2}}\Big(1-(x^{2}+y^{2})\Big) \ dxdy=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\int \limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1}{r^{2}}\Big(1-r^{2}\Big) \cdot r \ d \varphi\Bigg)dr=$

$$=\int \limits^{1}_{0}\Bigg(\int \limits^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{1}{r}-r \ d \varphi\Bigg)dr=\frac{\pi}{2}\int \limits^{1}_{0} \frac{1}{r}-r \ dr=\frac{\pi}{2}\lim_{a \to 0^{+}} \int\limits^{1}_{a}\frac{1}{r}-r \ dr=$

$$=\frac{\pi}{2}\lim_{a \to 0^{+}}\Big[\ln r-\frac{r^2}{2}\Big]^{1}_{a}=\frac{\pi}{2}\lim_{a \to 0^{+}}\Big(\ln 1-\frac{1}{2}-\ln a+\frac{a^{2}}{2}\Big)=-\frac{\pi}{2}\lim_{a \to 0^{+}}\Big(\frac{1}{2}+\ln a\Big)=$