Rozwiąż układ równań w zborze liczb rzeczywistych: [tex]\left \{ {{2y + 2x + z = 6} \atop {8yx

June 2022 1 6 Report

Rozwiąż układ równań w zborze liczb rzeczywistych:
[tex]\left \{ {{2y + 2x + z = 6} \atop {8yx - z^{2} =2}} \right.[/tex]

lukaszch07p2rzss

Szczegółowe wyjaśnienie:

$f(x,y,z)=2y+2x+z-6$

$g(x,y,z)=8yx-z^2-2$

Jest to układ równań nieliniowych, jednak od razu możemy napisać, że posiada on nieskończoną liczbę rozwiązań, gdyż niewiadomych jest więcej niż równań. Pozostaje jedynie zapisać dwie z pośród zmiennych za pomocą trzeciej. Wyznaczmy zatem $z$ oraz $y$ za pomocą $x$ :

Z funkcji $f(x,y,z)$ wyznaczamy zmienną $z$ :

$z=6-2y-2x$

Wyznaczoną wartość zmiennej $z$ wstawiamy do funkcji $g(x,y,z)$ :

$24x-4x^2-4y^2+24y-38=0$

Z powyższego równania wyznaczamy zmienną $y$ :

$y_1=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }{2}+3 \ \vee \ y_2= 3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }{2}$

Do wyznaczonej wartości zmiennej $z$ podstawiamy nasze wartości zmiennej $y$ i otrzymujemy:

$$z_1=-2x-\sqrt{2}\cdot \sqrt{12x-2x^2-1} \ \vee \ z_2= -2x+\sqrt{2}\cdot \sqrt{12x-2x^2-1}$

Zatem ostatecznie:

$\left \{ {{y=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2}+3 } \atop {z=-2x-\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right.$

lub

$\left \{ {{y=3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2} } \atop {z=-2x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right.$

Ponieważ rozważamy dziedzinę rzeczywistą, musimy wyznaczyć jeszcze dziedzinę zmiennej $x$ , będzie to tylko rozwiązanie nierówności:

$\sqrt{12x-2x^2-1}\geq 0$

będzie to:

$$3-\frac{\sqrt{34} }{2}\leq x\leq 3+\frac{\sqrt{34} }{2}$

w przybliżeniu:

$0,0845\leq x\leq 5,9155$

Sprawdźmy jeszcze tylko, załóżmy że $x=1$ wtedy:

$$y_1=\frac{3\sqrt{2} }{2}+3 \ \ \wedge \ \ z_1=-2-3\sqrt{2}$

więc:

$f\bigg(1,3+\frac{3\sqrt{2} }{2},-2-3\sqrt{2}\bigg)=0$

$g\bigg(1,3+\frac{3\sqrt{2} }{2},-2-3\sqrt{2}\bigg)=0$

mamy zgodność, jeszcze tylko:

$y_2=3-\frac{3\sqrt{2} }{2} \ \ \wedge \ \ z_2=3\sqrt{2}-2$

$f\bigg(1,3-\frac{3\sqrt{2} }{2},-2+3\sqrt{2}\bigg)=0$

$g\bigg(1,3-\frac{3\sqrt{2} }{2},-2+3\sqrt{2}\bigg)=0$

wszystko się zgadza :)

Odpowiedź:

$\left \{ {{y=\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2}+3 } \atop {z=-2x-\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right. \ \ \ \wedge \ \ \ x\in\bigg\langle3-\frac{\sqrt{34} }{2} \ ; \ 3+\frac{\sqrt{34} }{2}\bigg\rangle$

lub

$\left \{ {{y=3-\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-x^2-1} }{2} } \atop {z=-2x+\sqrt{2}\cdot\sqrt{12x-2x^2-1} }} \right. \ \ \ \wedge \ \ \ x\in\bigg\langle3-\frac{\sqrt{34} }{2} \ ; \ 3+\frac{\sqrt{34} }{2}\bigg\rangle$