rozwiąż równania wielomianowe a [tex]3x^{4} -7x^{3}+2x^{2}=0[/tex] b[tex]x^{3} +3x^{2} -4x-12=0[/tex.... Question from @kisana

June 2022 1 3 Report

rozwiąż równania wielomianowe
a [tex]3x^{4} -7x^{3}+2x^{2}=0[/tex]
b[tex]x^{3} +3x^{2} -4x-12=0[/tex]
c[tex]2x(x^{2} +3)(5x+10)=0[/tex]

Gharic

Verified answer

Cześć!

Przykład a)

Dziedzina: $x \in \mathbb{R}$

Wyłączamy przed nawias $x^2$ i otrzymujemy iloczyn dwóch czynników. Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem, zatem z równania czwartego stopnia zrobiły nam się dwa równania kwadratowe, połączone alternatywą ( $\vee$ )

$3x^4-7x^3+2x^2=0\\\\x^2(3x^2-7x+2)=0 \iff x^2=0~~ \vee ~~3x^2-7x+2=0 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0 ~~~~ \vee ~~\Delta = (-7)^2-4\cdot 3\cdot 2\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta = 49-24=25\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sqrt{\Delta} = 5\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x = \frac{-(-7)\pm5}{2\cdot 3} \Longrightarrow x \in \{\frac{1}{3}; 2\}$

Stąd finalnie rozwiązaniem równania są liczby: $x \in \{0;\frac{1}{3}; 2\}$

Przykład b)

Dziedzina: $x \in \mathbb{R}$

Nasze wyrażenie wielomianowe staramy się doprowadzić ponownie do iloczynu czynników, aby móc zastosować taktykę, której użyliśmy wyżej. W tym celu z dwóch pierwszych elementów wyłączamy $x^2$ , a z dwóch ostatnich: $-4$ . Otrzymujemy wówczas różnicę dwóch iloczynów, które mają wspólny czynnik i jest nim $x+3$ . Wyłączamy go ponownie przed nawias i dochodzimy do iloczynu dwóch czynników - liniowego i kwadratowego. Zauważamy prędko, że drugi nawias możemy rozbić ze wzoru skróconego mnożenia na dwa inne: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ . Dzięki temu otrzymujemy iloczyn trzech czynników liniowych. Cały iloczyn będzie zerem, gdy przynajmniej jeden czynnik będzie zerowy.

$x^3+3x^2-4x-12 = 0 \\\\x^2(x+3) -4(x+3) = 0\\\\(x+3)(x^2-4) = 0\\\\(x+3)(x-2)(x+2)=0 \iff x+3=0 ~~\vee ~~x-2=0 ~~\vee~~x+2=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=-3 ~~~~~\vee ~~x=2 ~~~~~~~\vee ~~x=-2$

Stąd finalnie rozwiązaniem równania są liczby: $x \in \{-3; -2; 2\}$

Przykład c)

Dziedzina: $x \in \mathbb{R}$

Tutaj prościej - z góry równanie przedstawione jest jako iloczyn trzech czynników, więc wystarczy każdy przyrównać do zera. Dwa czynniki są liniowe, jeden kwadratowy - przy kwadratowym musimy uważać. Dlaczego? Na etapie rozwiązywania otrzymujemy równość $x^2=-3$ , której nie spełnia żadna liczba rzeczywista x, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (większy bądź równy zero). Zatem równanie ma tylko dwa rozwiązania - mimo iloczynu trzech czynników.

$2x(x^3+3)(5x+10) = 0 \iff 2x=0 ~~\vee ~~x^2+3=0~~ \vee ~~5x+10=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0 ~~~ \vee ~~x^2=-3 ~~~~~\vee ~~5x=-10\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x\in \oslash ~~~~~~~~\vee~~ x=-2$