Question

Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnić, że

dla dowolnej liczby naturalnej > 2 liczba przekątnych

dowolnego n−kąta wypukłego jest równa[tex]\frac{n(n-3)}{2}[/tex]

Answer 1

Verified answer

Indukcja matematyczna - liczba przekątnych n-kąta wypukłego.

1. Pierwszy krok indukcyjny:
   dla liczby kątów n=3:
   faktycznie - trójkąt nie ma przekątnych.
2. Założenie indukcyjne:
   Niech dla liczb naturalnych k z przedziału będzie spełnione, że liczba przekątnych k-kąta wypukłego wynosi:
   
3. Drugi krok indukcyjny (teza):
   zbadajmy, czy dla (n+1)-kąta wypukłego liczba przekątnych jest równa:
   
4. Badana figura jest złożona z n-kąta i trójkąta przyklejonego do jednego z boków n-kąta, stąd:
   n-kąt ma przekątnych;
   doczepiony trójkąt daje nam dodatkowe przekątne (odcinki łączące doczepiony wierzchołek z pozostałymi wierzchołkami oprócz dwóch sąsiednich i niego samego);
   dodatkowo bok n-kąta, będący podstawą trójkąta doczepionego także staje się przekątną;
   sumując dostajemy:
   
5. W związku z powyższym udało nam się odtworzyć wzór z tezy indukcyjnej, co kończy dowód.

Z kolei chcąc wyznaczyć sumę kątów dowolnego n-kąta także możemy skorzystać z indukcji matematycznej, dzieląc n-kąt przekątnymi z jednego wierzchołka na (n-2) trójkąty. Dostaniemy tym sposobem, że suma kątów wynosi: