Oblicz granicę ciągu: [tex]a_{n} = (\frac{n^{2}+2}{2n^{2}+1})[/tex].... Question from @alex1936

Granica ciągu.

Mamy obliczyć granicę ciągu:

$a_n=\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}$

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n^2}}$

Jako, że:

$\dfrac{1}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0\\\\\dfrac{2}{n^2}\xrightarrow{n\to\infty}0$

otrzymujemy

$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

Ostatecznie:

$\huge\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+2}{2n^2+1}=\dfrac{1}{2}}$

Łatwo można określić granicę takich ciągów nie obliczając ich.

Jeżeli w liczniku mamy większą potęgę niż mianowniku, to granica takiego ciągu jest niewłaściwa i wynosi $\pm\infty$ (w zależności od znaku liczby przy największej potędze).

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=-\infty\ \text{gdy}\ a < 0\ \wedge\ k > m\\\\\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=\infty\ \text{gdy}\ a > 0\ \wedge\ k > m$

Jeżeli w mianowniku jest większa potęga niż w liczniku, to granica takiego ciągu wynosi 0.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^m+b_1n^{m-1}+...}=0\ \text{gdy}\ m > k$

Jeżeli w liczniku i mianowniku mamy taką samą największą potęgę, to granica jest równa ilorazowi czynnika z licznika przy najwyższej potędze i czynnika z mianownika przy najwyższej potędze:

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{an^k+a_1n^{k-1}+...}{bn^k+b_1n^{k-1}+...}=\dfrac{a}{b}$