Oblicz granicę ciągu: [tex]a_{n} = (1-\frac{4}{n} )^{-n+3}[/tex].... Question from @alex1936

platon1984

Verified answer

Przepiszę nieco wzór ciągu:

$a_n=(1-\frac{4}{n})^{-n+3}=(1-\frac{1}{n/4})^{-\frac{n}{4}\cdot\frac{4(n+3)}{n}}$

$\lim_{n\to\infty}{a_n}=\lim_{n\to\infty}{e^{\frac{4(n+3)}{n}}}=e^{4}$

Wykorzystałem tu elementarną granicę:

$\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n})^{-n}=e$

pozdrawiam

1 votes Thanks 1

animaldk

Verified answer

Granica ciągu. Liczba Nepera (Eulera) e.

Do obliczenia mamy granicę ciągu:

$a_n=\left(1-\dfrac{4}{n}\right)^{-n+3}$

Liczba Nepera, jest to liczba niewymierna równa:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e$

stąd:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{n}\right)^{\frac{n}{a}}=e$

Obliczamy granicę:

$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{4}{n}\right)^{-n+3}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{-n+3}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{-\frac{n}{4}\left[-\frac{4}{n}(-n+3)\right]}\\\\=\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\dfrac{-4}{n}\right)^{\frac{n}{-4}\right]^{4-\frac{12}{n}}$