Oblicz całkę nieoznaczoną [tex]\int\limits{(5x-x^{2} )cos2x} \, dx[/tex].... Question from @matiXD12

Odpowiedź:

$\boxed{\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=\dfrac{5}{2}x\sin2x+\dfrac{5}{4}\cos2x+\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Metoda - całkowanie przez części:

$\int u v'=uv-\int u'v$

$\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=\int(5x\cos2x-x^2\cos2x)dx\\\\=5\int x\cos2x\ dx-\int x^2\cos2x\ dx$

Zajmiemy się całkami osobno.

$\int x\cos2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x&v'=\cos2x\\u'=1&v=\dfrac{1}{2}\sin2x\end{array}\right] \Rightarrow x\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x-\int 1\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x\ dx\\\\=\dfrac{1}{2}x\sin2x-\dfrac{1}{2}\int\sin2x\ dx=\dfrac{1}{2}x\sin2x-\dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)\\\\=\boxed{\dfrac{1}{2}x\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x}$

$\int x^2\cos2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x^2&v'=\cos2x\\u'=2x&v=\dfrac{1}{2}\sin2x\end{array}\right] \Rightarrow x^2\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x-\int 2x\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x\ dx\\\\=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\int x\sin2x\ dx=(*)\\\\\int x\sin2x\ dx\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc}u=x&v'=\sin2x\\u'=1&v=-\dfrac{1}{2}\cos2x\end{array}\right] \Rightarrow x\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)-\int 1\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\cos2x\right)dx$

$=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{2}\int\cos2x\dx=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\sin2x=-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x$

$(&*)=\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\left(-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x\right)\\\\=\boxed{\dfrac{1}{2}x^2\sin2x+\dfrac{1}{2}x\cos2x-\dfrac{1}{4}\sin2x}$

Składamy rozwiązanie:

$\int(5x-x^2)\cos2x\ dx=5\left(\dfrac{1}{2}x\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x\right)-\left(\dfrac{1}{2}x^2\sin2x+\dfrac{1}{2}x\cos2x-\dfrac{1}{4}\sin2x\right)\\\\=\dfrac{5}{2}x\sin2x+\dfrac{5}{4}\cos2x+\dfrac{1}{2}x^2\sin2x-\dfrac{1}{2}x\cos2x+\dfrac{1}{4}\sin2x+C$

2 votes Thanks 2

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social