Question

Dana jest funkcja określona wzorem [tex]y = \frac{25}{x^2}[/tex] , dla każdego x ∈ R - {0} , której wykres pokazano na rysunku (w załączniku), oraz punkt [tex]A = (8, -1)[/tex]:


a) Pozioma prosta przecina wykres tej funkcji w punktach o współrzędnych [tex]B = (x_{0}, y_{0})[/tex] oraz [tex]C = (-x_{0}, y_{0})[/tex] gdzie [tex]x_{0} \ \textgreater \ 0[/tex] i [tex]y_{0} \ \textgreater \ 0[/tex] .

Znajdź najmniejsze [tex]x_{0}[/tex] ∈ (13; +∞) , dla którego [tex]P_{(trojkata)ABC} \geq 26[/tex] .


b) Wyznacz największą liczbę nieujemną [tex]m[/tex] o tej własności, że dla dowolnego x ∈ (0; +∞) prawdziwa jest nierówność [tex]P_{(trojkata)ABC} \geq m[/tex].

Answer 1

a)

Pole trójkąta można obliczyć najprościej:

gdzie h jest wysokością poprowadzoną z wierzchołka A. Łatwo policzyć, że:

zatem nasze rozwiązania to x0=25

b)

Wykorzystam wcześniej wyprowadzony wzór na pole:

szukamy zatem minimalnego pola

upewnijmy się jeszcze, że jest to faktycznie minimum:

druga pochodna w punkcie ekstremum jest dodatnia, czyli mamy minimum.

pozdrawiam