[tex]\vspace{5}\text{Wyka\.{z}, \.{z}e nier\'{o}wno\'{s}\'{c}}\\\vspace{5}\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot.... Question from @plokmijnuhbygvtfcrdx

1z4wszechmocnych

$\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot2n}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Niech $L_n$ oraz $R_n$ oznaczają odpowiednio lewą oraz prawą stronę nierówności dla danego $n$ :

$L_n=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot2n}$

$R_n=\dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Nierówność udowodnimy metodą indukcji matematycznej.

Sprawdzamy jej prawdziwość dla $n=1$ (baza indukcyjna):

$L_1=\dfrac12$

$R_1=\dfrac{1}{\sqrt{3\cdot1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{4}}=\dfrac12$

$L_1=R_1\Longrightarrow L_1\leqslant R_1$

czyli dla $n=1$ nierówność jest prawdziwa (zachodzi wówczas równość).

Załóżmy teraz, że dla pewnego $n\geqslant1$ nierówność jest prawdziwa, czyli

$L_n\leqslant R_n$

Przekształćmy teraz nierówność, korzystając z faktu, że $L_n,\ R_n>0$ :

$L_n\leqslant R_n\Longleftrightarrow L_n^2\leqslant R_n^2\Longleftrightarrow L_n^{-2}\geqslant R_n^{-2}$

Mamy:

$L_n^{-2}=\dfrac{2^2\cdot4^2\cdot6^2\cdot...\cdot(2n)^2}{1^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot...\cdot(2n-1)^2}$

$R_n^{-2}=3n+1$

Udowodnimy teraz, że jeśli nierówność ta jest prawdziwa dla $n\geqslant1$ , to jest ona wówczas również prawdziwa dla $n+1$ . Mamy:

$L_{n+1}^{-2}=\dfrac{2^2\cdot4^2\cdot6^2\cdot...\cdot(2n)^2\cdot(2n+2)^2}{1^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot...\cdot(2n-1)^2\cdot(2n+1)^2}=L_n^{-2}\cdot\dfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}$

$R_{n+1}^{-2}=3(n+1)+1=3n+4=R_n^{-2}\cdot\dfrac{3n+4}{3n+1}$

Niech teraz

$l=\dfrac{L_{n+1}^{-2}}{L_n^{-2}}=\dfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}$

$r=\dfrac{R_{n+1}^{-2}}{R_n^{-2}}=\dfrac{3n+4}{3n+1}$

Wykażemy, że

$l>r$

Mamy:

$\dfrac{(2n+2)^2}{(2n+1)^2}>\dfrac{3n+4}{3n+1}$

Ponieważ $(2n+1)^2,\ 3n+1>0$ , możemy napisać:

$(2n+2)^2(3n+1)>(2n+1)^2(3n+4)$

Wymnażamy teraz przez siebie wielomiany:

$(4n^2+8n+4)(3n+1)>(4n^2+4n+1)(3n+4)$

$12n^3+24n^2+12n+4n^2+8n+4>12n^3+12n^2+3n+16n^2+16n+4$

Redukujemy wyrazy podobne:

$12n^3+28n^2+20n+4>12n^3+28n^2+19n+4$

Po odjęciu odpowiadających sobie wyrazów stronami nierówność redukuje się do

$n>0$

Nierówność ta, na mocy zasady skwantowania, jest równoważna nierówności

$n\geqslant1$

która jest przyjętym założeniem, a zatem jest ona prawdziwa. Jako, że nierówność $n>0$ jest równoważna nierówności $l>r$ , ponieważ otrzymaliśmy ją na skutek równoważnych przekształceń tejże nierówności, to nierówność $l>r$ jest również prawdziwa.

Mamy zatem:

$\dfrac{L_{n+1}^{-2}}{L_n^{-2}}>\dfrac{R_{n+1}^{-2}}{R_n^{-2}}$

Po wymnożeniu nierówności stronami z założeniem indukcyjnym $L_n^{-2}\geqslant R_n^{-2}$ dostajemy:

$L_{n+1}^{-2}>R_{n+1}^{-2}\Longrightarrow L_{n+1}^{-2}\geqslant R_{n+1}^{-2}$

a zatem przy założeniu prawdziwości nierówności dla $n\geqslant1$ otrzymujemy jej prawdziwość również dla $n+1$ .

Wracając teraz do początkowej nierówności dostajemy:

$L_n\leqslant R_n\Longrightarrow L_{n+1}\leqslant R_{n+1}$

Z tego wszystkiego, na mocy ZIM, czyli Zasady Indukcji Matematycznej, udowodniliśmy, że nierówność $L_n\leqslant R_n$ , czyli

$\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot2n}\leqslant\dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}$

jest prawdziwa dla dowolnego $n\in\mathbb{N},\ n\geqslant1$ C.N.D. Dodatkowowo pokazaliśmy, że równość może zajść wtedy i tylko wtedy, gdy $n=1$ .

3 votes Thanks 2

plokmijnuhbygvtfcrdx (-_-)

1z4wszechmocnych (-_-)

1z4wszechmocnych dx

Tabiaszcz [-_-]

plokmijnuhbygvtfcrdx {-_-}

Tabiaszcz < -_- >

plokmijnuhbygvtfcrdx |-_-|

Tabiaszcz d-_-b

plokmijnuhbygvtfcrdx q-_-p

Piok

Zauważmy na początku, że:

$\frac{1\cdot3\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot...\cdot(2n)}=\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}$

Można udowodnić mocniejszą nierówność skorzystamy z lematu, (podaje bez dowodu):

$\mathbf{Lemat\ Stirlinga}$ Istnieje taki ciąg ograniczony i zbieżny do zera $\lambda_n\in\left[\frac{1}{12n+1},\frac{1}{12n}\right]$ , że dla każdego $n$ zajdzie równość $n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{\lambda_n}$

zatem można powiedzieć, że zachodzi nierówność:

$\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left(\frac{1}{12n+1}\right)\leq n!\leq\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left(\frac{1}{12n}\right)$

oraz

$\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\exp\left(\frac{1}{24n+1}\right)\leq (2n)!\leq\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\exp\left(\frac{1}{24n}\right)$

To pozwala zapisać szacowanie:

$\frac{(2n)!}{(n!)^24^n}\leq\frac{\sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}\exp\left(\frac{1}{24n}\right)}{4^n\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\exp\left(\frac{1}{12n+1}\right)\right)^2}$

A to po choć groźnie wyglądających aczkolwiek rutynowych przekształceniach upraszcza się do:

Teraz zauważając, że lewa strona jest równa lewej stronie z zadania a prawą stronę można lekko osłabić jako, że $\exp\left(\frac{1}{24n}-\frac{2}{12n+1}\right)\leq 1$ wszak wykładnik jest mniejszy od $0$ zapiszemy

$\frac{1\cdot3\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot...\cdot2n}\leq\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$

Pozostało jeszcze pokazać, że $\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}$ jest to prawdą dla $n\geq 8$ jako, że równoważnie mamy pokazać $(\pi -3)n\geq 1$ . Ciąg po lewej jest oczywiście rosnący do $\infty$ więc na pewno znajdzie się taki indeks od którego ów nierówność będzie spełniona. Tym indeksem jest własnie $8$ bo prawdą jest już, że $(\pi-3)\cdot 8\geq 1$ . Dla pozostałych $n=1,2,3,...,7$ tezę sprawdzamy ręcznie (zachodzi). Do kończy dowód.

Dodatkowe wnioski.

Nierówność można zmodyfikować dla dowolnego $k\in\mathbb{N}$ (a nawet rzeczywistego) zachodzi

$\frac{1\cdot3\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot...\cdot2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+k}}$

od pewnego $n_0$ naturalnego. Oczywiście w tej wersji sens ma branie $k>1$ by istotnie wzmocnić nierówność. Innym wnioskiem którego dokładnie dowodzić nie będę jest fakt iż największą stała $c$ dla której zajdzie

$\frac{1\cdot3\cdot...\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot...\cdot2n}\leq\frac{1}{\sqrt{cn}}$

Jest $c=\pi$ . To raczej postulat którego dowód można przeprowadzić szacując lewą stronę z dołu (nie robiłem tego ale powinno wyjść).

1 votes Thanks 2

Wykonaj dzielenie wielomianów (4ab-1):(a+b+1).

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social