Bardzo proszę matematyków o pomoc :) Sporządź wykres funkcji y = [tex]\sqrt{x} *\frac{\sqrt{\frac{1+.... Question from @KarolinkaKochanje

June 2022 1 8 Report

Bardzo proszę matematyków o pomoc :)

Sporządź wykres funkcji y = [tex]\sqrt{x} *\frac{\sqrt{\frac{1+x^{2} }{2x} +1-\sqrt{\frac{1+x^{2} }{2x} -1} } }{\sqrt{\frac{1+x^{2} }{2x} }+1+\sqrt{\frac{1+x^{2} }{2x} } -1}[/tex]

lukaszch07p2rzss

Verified answer

Szczegółowe wyjaśnienie:

Nie będę dużo rozpisywał, gdyż rozwiązanie i tak będzie dosyć obszerne, w razie wątpliwości pisz śmiało.

Uprośćmy:

$f(x)=\frac{\sqrt{x} \cdot\sqrt{x+\frac{1}{x}-\sqrt{2x+\frac{2}{x}-4 }+2 } }{2\sqrt{x+\frac{1}{x} } }$

1. Dziedzina i zbiór wartości

$x\in\mathbb{R}:x>0$

$y\in\mathbb{R}:y>0$

Powyższe wynika z tego, iż nie analizujemy wykresu na płaszczyźnie zespolonej. W takim przypadku każdy $x$ musi być dodatni, gdyż nie istnieją liczby rzeczywiste będące wynikiem pierwiastka z liczby ujemnej. Zero jest wykluczone z dziedziny przez mianownik (w wyniku dzielenia przez zero otrzymamy symbol, a nie liczbę rzeczywistą). Wartości odpowiadające są wynikami pierwiastków, więc analogicznie muszą być dodatnie (wyrzucamy zero z racji, że $x\neq 0$ ).

2. Miejsca zerowe.

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

3. Przecięcia z osią Y

Funkcja nie przecina osi.

4. Granice

Analizujemy krańce dziedziny.

$\lim_{x \to 0} f(x)=0$

oraz:

$\lim_{x \to \infty} f(x)=\infty$

5. Asymptoty

Funkcja nie posiada asymptot

6. Monotoniczność

Liczymy pochodną i przyrównujemy do zera.

$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{\sqrt{2}\cdot\bigg(x+\frac{2(x-1)^2}{x} -\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8} +\frac{x^4\cdot\sqrt{\frac{2(x-1)^2}{x} }+ \sqrt{\frac{2(x-1)^2}{x}}}{8}-\frac{3}{8}+\frac{x^2\cdot\sqrt{\frac{2(x-1)^2}{x} } }{4} \bigg)}{x^{\frac{5}{2} }\cdot(\frac{x^2+1}{x})^\frac{3}{2} \cdot\sqrt{\frac{(x-1)^2}{x} }\cdot\sqrt{\frac{2x-x\sqrt{\frac{2(x-1)^2}{x} }+x^2+1 }{x} } }$

$\frac{d}{dx}f(x)=0\\\\x\in \varnothing$

Pochodna nie przyjmuje miejsc zerowych, oznacza to że monotoniczność funkcji wyjściowej jest jednakowa w całej dziedzinie. Pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie np.:

$\frac{d}{dx}f(\frac{1}{1000})\approx7,5712$

Na mocy twierdzenia Darboux pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie w całej swojej dziedzinie, a co za tym idzie funkcja wyjściowa jest rosnąca w całej dziedzinie.

Funkcja nie posiada ekstremów.

7. Przegięcia, wklęsłość i wypukłość.

Nie będę wypisywał już wyniku drugiej pochodnej, jest zbyt złożony (jeśli jest Ci potrzebny pisz).

Przyrównujemy drugą pochodną do zera.

$\frac{d^2}{dx^2} f(x)=0$

Jest to coś znacznie trudniejszego niż się wydaje i nawet korzystając z najlepszych programów udało mi się znaleźć jedynie przybliżone wartości tych miejsc zerowych (obliczenia numeryczne), są to:

$x_1\approx0,208314\\x_2\approx0,322202\\x_3\approx3,10364\\x_4\approx4,80045$

Interesują nas zmiany znaku pochodnej drugiego rzędu w pobliżu tych punktów. Dochodzi do nich w pobliżu wszystkich tych punktów. Są one punktami przegięcia.

Więc:

$\frac{d^2}{dx^2} f\leq 0 \ dla \ x\in(0 \ ; x_1\rangle \ \cup \ \langle x_2 \ ; \ x_3\rangle \ \cup \ \langle x_4 \ ; \infty )\\\\\frac{d^2}{dx^2} f\geq 0 \ dla \ x\in \langle x_1 \ ; \ x_2 \rangle \ \cup \ \langle x_3 \ ; \ x_4 \rangle$