Wiedząc, że: [tex]a^{2} + b^{2} = 220\\ab = 15\sqrt{35}[/tex] Oblicz: [tex]a = ?\\b = ?\\[/tex].... Question from @mushriim

mushriim @mushriim

July 2022 1 22 Report

Wiedząc, że:

[tex]a^{2} + b^{2} = 220\\ab = 15\sqrt{35}[/tex]

Oblicz:

[tex]a = ?\\b = ?\\[/tex]

animaldk

Układy równań.

Mamy dany układ równań:

$\left\{\begin{array}{ccc}a^2+b^2=220\\ab=15\sqrt{35}\end{array}\right$

Z drugiego równania wynika, że a ≠ 0 i b ≠ 0.

Wyznaczamy z niego a:

$ab=15\sqrt{35}\qquad|:b\neq0\\\\\boxed{a=\dfrac{15\sqrt{35}}{b}}$

Podstawiamy do pierwszego równania:

$\left(\dfrac{15\sqrt{35}}{b}\right)^2+b^2=220\\\\\dfrac{15^2\cdot\left(\sqrt{35}\right)^2}{b^2}+b^2=220\qquad|\cdot b^2\neq0\\\\225\cdot35+b^4=220b^2\qquad|-220b^2\\\\b^4-220b^2+7875=0$

Otrzymujemy równanie dwukwadratowe.

Wykonujemy podstawienie:

$b^2=t > 0\\\\t^2-220t+7875=0$

Rozwiążemy je za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego (Δ).

$ax^2+bx+c=0\\\\\Delta=b^2-4ac$

Jeżeli Δ < 0, to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Jeżeli Δ = 0, to równanie ma dwukrotny pierwiastek postaci

$x_0=\dfrac{-b}{2a}$

Jeżeli Δ > 0, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste postaci

$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

Rozwiązanie:

$a=1,\ b=-220,\ c=7875\\\\\Delta=(-220)^2-4\cdot1\cdot7875=48400-31500=16900\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{16900}=130\\\\t_1=\dfrac{-(-220)-130}{2\cdot1}=45\\\\t_2=\dfrac{-(-220)+130}{2\cdot1}=175$

Wracamy do podstawienia:

$b^2=45\ \vee\ b^2=175\\\\b=\pm\sqrt{45}\ \vee\ b=\pm\sqrt{175}\\\\b=\pm\sqrt{9\cdot5}\ \vee\ b=\pm\sqrt{25\cdot7}\\\\b=-3\sqrt5\ \vee\ b=3\sqrt5\ \vee\ b=-5\sqrt7\ \vee\ b=5\sqrt7$

Obliczamy wartości a:

$b=-5\sqrt7\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{-5\sqrt7}=-3\sqrt5\\\\\\b=-3\sqrt5\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{-3\sqrt5}=-5\sqrt7\\\\\\b=3\sqrt5\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{3\sqrt5}=5\sqrt7\\\\\\b=5\sqrt7\\\\a=\dfrac{15\sqrt{35}}{5\sqrt7}=3\sqrt5$