Oblicz: [tex]cos(56^{o}) \cdot cos(2 \cdot 56^{o}) \cdot cos(2^2 \cdot 56^{o}) \cdot ... \cdot cos(2.... Question from @Louie314

April 2022 1 48 Report

Oblicz:
[tex]cos(56^{o}) \cdot cos(2 \cdot 56^{o}) \cdot cos(2^2 \cdot 56^{o}) \cdot ... \cdot cos(2^{23} \cdot 56^{o})[/tex]

platon1984

To będzie partyzancka metoda rozwiązania. Zamiast jawnie pisać kąt oznaczę, go przez x i będę wyrażał w radianach.

Jeśli cosinusa zapiszą za pomocą wzorów Eulera:

$\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

oraz zauważę, że:

$\cos(x)\cos(2x)=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})(e^{2ix}+e^{-2ix})}{4}=\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}+e^{ix}+e^{-ix}}{4}$

teraz zrobię pewien trick i pomnożę to i podzielę przez sin(x)

$\frac{(e^{3ix}+e^{-3ix}+e^{ix}+e^{-ix})(e^{ix}-e^{-ix})}{4(e^{ix}-e^{-ix})}=\frac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{4(e^{ix}-e^{-ix})}=\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}$

Jeżeli teraz będę to dalej mnożył przez kolejne czynniki:

$\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}\cdot\cos(4x)=\frac{1}{8}\frac{\sin(8x)}{\sin(x)}$

czyli na końcu dostaną:

$\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(2^{24}x)}{\sin(x)}$

została ostatnia sztuczka. Wiemy, że sinus jest periodyczny z okresem 2π, zatem wystarczy zobaczyć ile wynosi:

$\mod(2^{24}x,2\pi)=\mod(2^{24}\cdot\frac{14}{45}\pi,2\pi)=\frac{14}{45}\pi=x\\\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(2^{24}x)}{\sin(x)}=\frac{1}{2^{24}}\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{2^{24}}$

Jeżeli się nie lubi wzorów Eulera, to można wszystko robić na wzorach trygonometrycznych. Przydatny tu będą związki:

$\cos(x)\cos(2x)=\frac{1}{2}(\cos(x)+\cos(3x))$

i po pomnożeniu przez sprzężenie z sinusem

$\frac{1}{2}(\cos(x)+\cos(3x))\frac{\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{4}\frac{\sin(2x)+2\cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)}=\frac{1}{4}\frac{\sin(2x)+\sin(4x)-\sin(2x)}{\sin(x)}=\\=\frac{1}{4}\frac{\sin(4x)}{\sin(x)}$