Question

Oblicz:

[tex]$\int_{0}^{\infty}\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} $[/tex]

Answer 1

Odpowiedź:[tex]\int\limits^\infty_0 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx=0[/tex]Szczegółowe wyjaśnienie:[tex]\int\limits^\infty_0 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx=\int\limits^1_0 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx + \int\limits^\infty_1 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx=...[/tex]Zajmę się teraz drugą całką, a więc [tex]\int\limits^\infty_1 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx[/tex].Podstawiam [tex]t=\frac{1}{x}[/tex]. Stąd [tex]x=\frac{1}{t}[/tex].[tex]dx=-\frac{1}{t^2}dt[/tex][tex]\int\limits^\infty_1 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx=\int\limits^0_1 {\frac{\ln \frac{1}{t} }{\frac{1}{t^2}+\frac{\pi}{t}+1 }(-\frac{1}{t^2} ) } \, dt=\int\limits^1_0 {\frac{\ln \frac{1}{t} }{\frac{1}{t^2}+\frac{\pi}{t}+1 }(\frac{1}{t^2} ) } \, dt =\int\limits^1_0 {\frac{\ln \frac{1}{t} }{1+\pi t+t^2 } } \, dt[/tex]Ponieważ [tex]\ln \frac{1}{t}=\ln(t^{-1})=-\ln t[/tex], to[tex]\int\limits^1_0 {\frac{\ln \frac{1}{t} }{1+\pi t+t^2 } } \, dt =-\int\limits^1_0 {\frac{\ln t}{t^2+ \pi t +1} } \, dt[/tex]Wracamy i dostajemy, że[tex]...=\int\limits^1_0 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx - \int\limits^1_0 {\frac{\ln x}{x^2+\pi x+1} } \, dx=0[/tex]