Dane jest równanie: [tex]\boxed{9^{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} -x)-\frac{3}{4} } =\sqrt[4]{3^{m-1} } }[.... Question from @ZbiorJ

August 2022 1 52 Report

Dane jest równanie:
[tex]\boxed{9^{\frac{1}{2} \cdot (x^{2} -x)-\frac{3}{4} } =\sqrt[4]{3^{m-1} } }[/tex]

a) rozwiąż dane równanie i podaj warunek istnienia tego rozwiązania w zależności od parametru m.
b) dla jakich wartości m spełniony jest warunek

[tex]\dfrac{1}{x_{1} ^{2} } +\dfrac{1}{x_{2} ^{2} }=8[/tex]

Gharic

Verified answer

Cześć!

$9^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{3^{m-1}}\\\\9^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}} = (3^{m-1})^\frac{1}{4}\\\\(3^2)^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}}= (3^{m-1})^\frac{1}{4}\\\\\\3^{x^2-x-\frac{3}{2}} = 3^{\frac{1}{4}(m-1)}$

Wobec tego:

$x^2-x-\frac{3}{2} = \frac{1}{4}m - \frac{1}{4}\\\\x^2-x-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}m=0$

$\Delta = (-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-\frac{5}{4} - \frac{m}{4}) = 1-4\cdot (\frac{-5-m}{4}) = 1+5+m=m+6$

Zatem:

Jeżeli $\Delta > 0 \Longrightarrow m+6 > 0 \iff m > -6$ - równanie ma dwa rozwiązania
Jeżeli $\Delta = 0 \Longrightarrow m+6=0 \iff m=-6$ - równanie ma jedno rozwiązanie
Jeżeli $\Delta < 0 \Longrightarrow m+6 < 0 \iff m < -6$ - równanie nie ma rozwiązań

Jeżeli równanie ma mieć rozwiązanie, to oznacza, że $m\in \langle-6;+\infty)$

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}=8 \iff \frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2} = 8 \iff \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} = 8$

Na mocy wzorów Viete'a, jeżeli $a = 1, b=-1, c=-\frac{5+m}{4}$ :

$\frac{(-\frac{b}{a})^2-2\frac{c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}} = 8 \iff \\\\\iff \frac{b^2-2ac}{c^2} = 8$

$\frac{(-1)^2+\frac{5+m}{2}}{\frac{25+10m+m^2}{16}} = 8 \iff \frac{\frac{m+7}{2}}{\frac{25+10m+m^2}{16}}} = 8 \iff \frac{8m+56}{m^2+10m+25} = 8 \iff \\\\\iff 8m+56-8m^2-80m-200 = 0 \iff -8m^2-72m-144=0 \iff\\\\\iff m^2+9m+18=0$

Ze wzorów Viete'a zauważamy, że pierwiastkami są $m \in \{-6;-3\}$ , będące też jedynymi wartościami, dla których spełniony jest warunek z przykładu b).