Question

PLS NIE MAM DUŻO CZASU!!!
Podaj jaka jest ostatnia cyfra liczby [tex]3^{27}[/tex]. Zapisz potrzebne obliczenia.

Answer 1

Odpowiedź:

Ostatnia cyfra liczby to .

Szczegółowe wyjaśnienie:

Skorzystamy z bardzo użytecznego narzędzia matematycznego zwanego kongruencjami: będziemy pisać w sytuacji, gdy liczby i dają tę samą resztę przy dzieleniu przez (lub równoważnie liczba jest podzielna przez ). Kongruencje można dodawać, odejmować i mnożyć stronami, można je również obustronnie podnosić do dowolnej potęgi całkowitej dodatniej. Zauważmy, że zapis możemy zinterpretować następująco: liczby i mają tę samą cyfrę jedności w zapisie dziesiętnym. Mamy kongruencję (ponieważ kończy się cyfrą 1). Podnosząc tę kongruencję obustronnie do potęgi szóstej dostajemy , czyli . Mnożąc ostatnią kongruencję obustronnie przez , czyli , otrzymujemy . Liczba kończy się więc tą samą cyfrą, co liczba , a więc cyfrą .