Question

Wykazać, że z równości [tex]x^{2} +y^{2} +z^{2} =xy+yz+zx[/tex] wynika, że x=y=z

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

Jeżeli:

x²+y²+z² = xy+yz+zx    / *2

2x²+2y²+2z² = 2xy+2yz+2zx

2x² + 2y² + 2z² - 2xy - 2yz - 2zx = 0

x² + y² - 2xy + x² + z² - 2xz + y² + z² - 2yz = 0  

czyli korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

a² - 2ab + b² = (a - b)²  

otrzymamy:

(x - y)² + (x - z)² + (y - z)²  = 0

wszystkie otrzymane wartości są dodanie (lub równe zero), więc powyższe, będzie równe zero, jeżeli:

(x - y)²=0   i  (x - z)² = 0  i  (y - z)² = 0

a z tego wynika że:

x = y     i   x=z    i    y=z

c.n.d.