Question

Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania

Wyznacz zbiór wartości funkcji [tex]f(x) = 1+2cosx-sin^{2}x[/tex]. Znajdź argumenty, dla którego funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość.

Część tego zadania mniej więcej zrobiłem tylko utknąłem w pewnym momencie.
[tex]f(x) = 1+2cosx-sin^{2}x \\f(x) = sin^{2}x+cos^{2}x+2cosx-sin^{2}x \\f(x) = cos^{2}x+2cosx = cosx(cosx+2)[/tex]

Właśnie nie wiem co mogę zrobić z f(x) = cosx(cosx + 2). Nie wiem do końca jak mam narysować taką funkcję ani jak mógłbym to wyliczyć bez rysunku. Jeśli można by było wytłumaczyć krok po kroku co mógłbym zrobić od tego miejsca gdzie jestem teraz?

Answer 1

Rozwiązanie:

Nie są potrzebne aż takie przekształcenia. Wystarczy sprowadzić funkcję do postaci trójmianu kwadratowego:

Teraz podstawiamy zmienną pomocniczą np. , gdzie :

Teraz musimy sprawdzić trzy przypadki (ze względu na ograniczenie funkcji cosinus oraz wierzchołek):

Tę wartość mamy już policzoną, więc nie liczymy drugi raz. Zbiorem wartości funkcji jest więc przedział: .