Rozwiąż równanie : a) tg(x)=1-[tex]\sqrt{2}[/tex] b) tg(x)=[tex]\sqrt{3}[/tex]-2 c)ctg(x)=-1-[tex]\s.... Question from @mekola

June 2022 1 10 Report

Rozwiąż równanie :
a) tg(x)=1-[tex]\sqrt{2}[/tex]
b) tg(x)=[tex]\sqrt{3}[/tex]-2
c)ctg(x)=-1-[tex]\sqrt{2}[/tex]
tabela w załączniku

Aerrus

Odpowiedź:

a) $x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$ ,

b) $x = \frac{11\pi}{12} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$ ,

c) $x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Chcemy rozwiązać równanie trygonometryczne, czyli znaleźć wszystkie wartości x, dla których wskazana w równaniu funkcja trygonometryczna przyjmuje wskazaną wartość.

a) Szukamy argumentów x, dla których funkcja tangens przyjmuje wartość $1 - \sqrt{2}$ . Jak widać takiej wartości nie ma w tabeli. Jednak można spróbować wykorzystać wzór redukcyjny $\tan(\pi-x) = -\tan(x)$ . Z tabeli odczytujemy, że dla $x = \frac{\pi}{8}$ , $\tan x = \sqrt{2}-1$ . Zatem $\tan(\pi-\frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{7\pi}{8}) = 1-\sqrt{2}$ . Znaleźliśmy jedno z rozwiązań równania: $x = \frac{7\pi}{8}$ . Przypomnijmy, że funkcja tangens jest różnowartościowa w przedziale $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ oraz ma okres równy $\pi$ . Zatem, jeśli znamy jedno rozwiązanie $x_0$ , to wszystkie rozwiązania równania mają postać $x_0 + k\pi, k\in \mathbb{Z}$ . Zatem rozwiązaniem równania jest $x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$

b) Rozwiązanie przebiega podobnie jak w a). Z tabelki $\tan(\frac{\pi}{12}) = 2-\sqrt{3} \implies \tan(\frac{11\pi}{12}) = \sqrt{3}-2$ Rozwiązaniem ogólnym jest $x = \frac{11\pi}{12} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$ .

c) Kolejne analogiczne rozwiązanie. Tym razem należy wykorzystać wzór redukcyjny $\cot(\pi-x) = -\cot(x)$ . Z tabelki $\cot( \frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}+1 \implies \cot( \frac{7\pi}{8}) = -\sqrt{2}-1$ . Tutaj również jeśli znamy jedno rozwiązanie $x_0$ , to wszystkie rozwiązania równania mają postać $x_0 + k\pi, k\in \mathbb{Z}$ (ćwiczenie: spróbuj to uzasadnić podobnie jak ja w pkt. a)). Zatem rozwiązaniem ogólnym jest $x = \frac{7\pi}{8} + k\pi, k\in \mathbb{Z}$ .