Question

Podaj najmniejszą dodatnią liczbę naturalną k, dla której wartość wyrażeń [tex]\sqrt{\frac{k}{2}}[/tex] i [tex]\sqrt[3]{\frac{k}{3} }[/tex] są wymierne. Proszę o jak najszybszą odpowiedź, z wyjaśnieniem. Brak wyjaśnienia = brak zaakceptowania odpowiedzi.

Answer 1

Odpowiedź:

Szczegółowe wyjaśnienie:

k/2 ma postać p*p

k/3 ma postać q*q*q

zatem 2*p*p=3*q*q*q

jeśli po lewej mamy 2 to q musi rozkładać się na czynniki 2*m

jeśli po prawej mamy 3 to p musi się rozkładać na czynniki 3*n

zatem 2*3*n*3*n=3*2*m*2*m*2*m | :2*3

3*n*n=2*2*m*m*m  

teraz n musi się rozkładać na czynniki 2*s

2*3*2*s*3*2*s=3*2*m*2*m*2*m  | :2*3*2*2

3*s*s = m*m*m

m musi mieć postać 3*t

2*3*2*s*3*2*s=3*2*3*t*2*3*t*2*3*t  | :3*2*3*2*2

s*s = t*t*t*3*3

s musi mieć postać 3*u

2*3*2*3*u*3*2*3*u=3*2*3*t*2*3*t*2*3*t

u*u=t*t*t

stąd wprost

dla u=1 i t=1

k=2*3*2*3*2*3*3

następne będzie u=8 t=4

i dla wszystkich kolejnych t dla których t będzie całkowitym pierwiastkiem kwadratowym

bo musi być wymierne - czyli t musi być postaci x²