Rozwiąż układ równań: [tex]\left\{ \begin{array}{ccc}x^{log_yz} +z^{log_{y}x } =512} \\y^{log

July 2022 1 42 Report

Rozwiąż układ równań:
[tex]\left\{ \begin{array}{ccc}x^{log_yz} +z^{log_{y}x } =512} \\y^{log_{z} x} +x^{log_{z}y } =8\\z^{log_{x} y} +y^{log_{x} z} =2\sqrt{2} \end{array}[/tex]

Proszę pamiętać o założeniach i mała podpowiedź stosujemy podstawienia.
Powodzenia !!!

Louie314

Verified answer

Odpowiedź:

$(x,y,z)=(16,2,4)$

$$(x,y,z)=\Big(16,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\Big)$

$$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},2,\frac{1}{4}\Big)$

$$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},\frac{1}{2},4\Big)$

Szczegółowe wyjaśnienie:

Na początek zauważmy, że:

$a^{\log_{b}c}=a^{\frac{\log_{a}c}{\log_{a}b} }=\Big(a^{\log_{a}c}\Big)^{\frac{1}{\log_{a}b} }=c^{\log_{b}a}$

dla $a,b,c$ dodatnich i różnych od jedności.

Takie same założenie możemy poczynić względem oryginalnych zmiennych $x,y,z$ .

Zobaczmy jak możemy skorzystać z tej zależności.

Przykładowo dla pierwszego równania możemy zapisać:

$z^{\log_{y}x}=x^{\log_{y}z}$

Podobnie wygląda to dla pozostałych równań. Ostatecznie otrzymuje się:

$$\left\{\begin{array}{ccc}2x^{\log_{y}z}=512\\2x^{\log_{z}y}=8\\2y^{\log_{x}z}=2\sqrt{2}\end{array}\right$

$$\left\{\begin{array}{ccc}x^{\log_{y}z}=256\\x^{\log_{z}y}=4\\y^{\log_{x}z}=\sqrt{2}\end{array}\right$

Korzystając z tego, że $4^4=256$ z pierwszych dwóch równań otrzymujemy zależność:

$x^{4\log_{z}y}=x^{\log_{y}z}$

Porównujemy wykładniki (przy założeniach odnośnie zadania możemy to zrobić) :

$$4\log_{z}y=\log_{y}z \iff 4\log_{z}y=\frac{1}{\log_{z}y} \iff 4\log_{z}^2y=1$

$$\log_{z}^{2}y=\frac{1}{2} \iff \log_{z}y=\frac{1}{2} \vee \log_{z}y=-\frac{1}{2}$

$$y=z^{\frac{1}{2}} \vee y=z^{-\frac{1}{2}}$

Teraz podstawiając to do wcześniejszego układu równań dostajemy (obie możliwości):

$$x^{\log_{z^{\frac{1}{2}}}z}=256 \iff x^{2}=256 \iff x = 16 \in D \vee x=-16 \notin D$

$$x^{\log_{z^{-\frac{1}{2}}}z}=256 \iff x^{-2}=256 \iff x = \frac{1}{16} \in D \vee x=-\frac{1}{16} \notin D$

Podstawiamy to do trzeciego równania z wcześniejszego układu:

$$y^{\log_{16}y^{2}}=\sqrt{2} \iff y^{\frac{1}{2}\log_{2}y}=\sqrt{2} \iff \log_{2}y \cdot \ln y=\ln 2$

$$\frac{\ln y}{\ln 2} \cdot \ln y=\ln 2 \iff \ln^{2}y=\ln^{2}2 \iff \ln y=-\ln 2 \vee \ln y = \ln 2$

$$y=\frac{1}{2} \in D \vee y=2 \in D$

Łatwo zauważyć, że dla zestawu $$x=\frac{1}{16}$ i $z=y^{-2}$ otrzymamy te same rozwiązania dla $y$ .

Pozostaje wyznaczyć $z$ z wyprowadzonej zależności (obie możliwości):

$$z=\frac{1}{4} \in D \vee z = 4 \in D$

Ostatecznie rozwiązaniami układu są następujące liczby:

$(x,y,z)=(16,2,4)$

$$(x,y,z)=\Big(16,\frac{1}{2},\frac{1}{4}\Big)$

$$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},2,\frac{1}{4}\Big)$

$$(x,y,z)=\Big(\frac{1}{16},\frac{1}{2},4\Big)$

2 votes Thanks 1

Recommend Questions

user7521 October 2020 | 0 Replies

Na loterii jest 10 losów wygrywających i 20 losów przegrywających. Ile losówgrywających należy dodać, aby prawdopodobieństwo wygranej zmniejszyło się do 1/5 ? wiem ze to bedzie 20 ale nie wiem jakie obliczenia

amelkaskoczylas October 2020 | 0 Replies

Pomocy! Zadanie 7!!! Na teraz

starfiuqa October 2020 | 0 Replies

Poloncz równe ułamki

abcebqjfj October 2020 | 0 Replies

uzupełnij zdanie zamiast kropek wpisz większy lub mniejszy a) zaokrąglenie liczby 8,149 do części dziesiętnych jest......... od tej liczby b)zaokrąglenie liczby 284 do dziesiatek jest......... od tej liczby

ola737626 October 2020 | 0 Replies

BŁAGAM POMÓŻCIE PLIIIISSSSSSSS ❤️❤️❤️ DAJE ❤️ I NAJ!!!!!! BĘDĘ WDZIĘCZNA PLISSSSSSSSS...W tabeli (w załączniku) podano wyniki zakończonego sezonu szkolnej ligi piłkarskiej każda z drużyn rozegrała 10 meczów. Za wygrany mecz otrzymywała 3 punkty za remis 1 punkt a za porażkę 0 punktówWykonaj polecenie i napisz działanie Niebiescy w 10 meczach zdobyli 26 punktów. Ile razy odnieśli zwycięstwo A ile razy zremisowali

martimisu October 2020 | 0 Replies

proszę o szybką pomoc!

Missaaaa October 2020 | 0 Replies

Oblicz DAJE NAJMatematyka PROSZĘ o szypka odpowiedź Na dzisiaj

radziszewska2115 October 2020 | 0 Replies

Zrobi ktoś ? prosze pilne na jutrro!!

jhjhkjl456362 October 2020 | 0 Replies

Oblicz i odpowiedź podaj w najprostszej postaci. Podaj dziedzinę. Bardzo proszę o szybką odpowiedź! Zad w załączniku

0904Bd October 2020 | 0 Replies

Proszę o rozwiązanie zadania nr 8

Verified answer

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social