Stara matura '94 . Oblicz pole figury jaką parabola o równaniu [tex]y=-2x^{2} +8x[/tex] odetnie ze .... Question from @ZbiorJ

June 2022 1 51 Report

Stara matura '94 .
Oblicz pole figury jaką parabola o równaniu
[tex]y=-2x^{2} +8x[/tex] odetnie ze zbioru wszystkich punktów
płaszczyzny OXY, których współrzędne x , y spełniają warunek:
[tex]\log_{x}y\ \textgreater \ 1 .[/tex]
Powodzenia !!!

Louie314

Verified answer

Rozwiązanie:

Założenie:

$x>0 \wedge x\neq 1 \wedge y>0$

Mamy:

$log_{x}y>1\\log_{x}y>log_{x}x$

Teraz, gdy $x \in (0,1)$ , to:

$0$

a gdy $x \in (1,\infty)$ , to:

$y>x$

Narysujmy teraz opisaną w zadaniu sytuację (czyli zbiór punktów $log_{x}y>1$ oraz parabolę o równaniu $-2x^{2}+8x=-2(x-2)^{2}+8$ ). Rysunek w załączniku.

Pole szukanego obszaru, to pole trójkąta, którego wierzchołek jest w początku układu współrzędnych oraz pole pozostałego obszaru.

Pole trójkąta jest równe:

$P_{1}=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1=\frac{1}{2}$

Pole pozostałego obszaru policzymy za pomocą całki oznaczonej:

Określamy obszar całkowania:

$-2x^{2}+8x=x\\-2x^{2}+7x=0\\x(-2x+7)=0\\x= 0 \vee x=\frac{7}{2}$

$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 1\leq x\leq \frac{7}{2} ,x\leq y\leq -2x^{2}+8x\}$

Obliczamy pole obszaru:

$P_{2}=\int {\int{} \, dy } \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {(\int\limits^{-2x^{2}+8x}_x {dy} \, )} \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {[y]^{-2x^{2}+8x}_{x}} \, dx =\int\limits^\frac{7}{2} _1 {(-2x^{2}+7x)} \, dx =[\frac{-2x^{3}}{3} +\frac{7x^{2}}{2} ]^{\frac{7}{2}}_{1}=\frac{343}{24}-\frac{17}{6} =\frac{275}{24}$