Punkt O jest środkiem koła na rysunku, a promień r tego koła ma długość 30 . Kąt środkowy koła [tex].... Question from @jakuj201006

jakuj201006 @jakuj201006

August 2022 1 18 Report

Punkt O jest środkiem koła na rysunku, a promień r tego koła ma długość 30 . Kąt środkowy koła [tex]\alpha[/tex] oparty jest na łuku o długości [tex]3\pi[/tex].
Oblicz pole powierzchni zaznaczonego na rysunku odcinka koła.

unicorn05

Pole odcinka koła wyznaczonego przez kąt α to różnica między polem wycinka koła wyznaczonego przez ten kąt, a polem trójkąta utworzonego, przez promienie będące ramionami kąta α i cięciwę "odcinającą" odcinek.

Stosunek długości łuku wycinka (pola wycinka) do obwodu koła (pola koła) jest taki sam jak stosunek kąta α do kąta pełnego.

Stąd:

Długość łuku: $\bold{\L=\frac{\alpha}{360^o}\cdot2\pi r}$

Zatem:

$\bold{\frac{\alpha}{360^o}\cdot2\pi \cdot30=3\pi\qquad/:(3\pi)}\\\\ \bold{\frac{\alpha}{360^o}\cdot20=1}\\\\ \bold{\frac{\alpha}{18^o}=1\qquad/\cdot18^o}\\\\ \bold{\alpha=18^o}$

Pole wycinka: $\bold{P_w=\frac{\alpha}{360^o}\cdot\pi r^2}$

Czyli:

$\bold{P_w=\frac{18^o}{360^o}\cdot\pi\cdot30^2}\\\\ \bold{P_w=\frac{1}{20}\cdot\pi\cdot900}\\\\ \bold{P_w=45\pi}$

Pole trójkąta o dwóch bokach długości r i kącie α między nimi: $\bold{P_t=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot \sin\alpha}$

$\bold{P_t=\frac{1}{2}\cdot 30\cdot 30\cdot \sin18^o}\\\\ \bold{P_t=450\, \sin18^o}$

Zatem, pole odcinka zaznaczonego na rysunku to:

$\bold{P=P_w-P_t}\\\\ \bold{P=45\pi-450\, \sin18^o}\\\\ \large\boxed{ \bold{ P=45(\pi-10\,\sin18^o)\ \big [j^2\big]}}\\\\ \bold{P\approx2,314\ [j^2]}$