Question

Równania stycznych do okręgu [tex]x^2+y^2-10x+4y+25=0[/tex], które przechodzą przez początek układu współrzędnych mają postać .......

Answer 1

Pozwijajmy do wzoru skróconego mnożenia (a±b)²=a²±2ab+b² to równanie okręgu:

x²-10x+25 + y²+4y+4-4=0

(x-5)²+(y+2)²=4

Mamy więc okrąg o środku (5,-2) i promieniu √4=2.

Do równania prostych y=ax+b przechodzących przez początek układu współrzędnych (punkt (0,0)) wstawiamy x=0 oraz y=0 i otrzymujemy b=0. Zatem mamy proste postaci y=ax czyli ax - y = 0.

Styczne do okręgu mają tę własność, że są oddalone od środka o promień, bo są prostopadłe do promienia.

Zatem odległość prostej ax - y = 0 od punktu (5,-2) wynosi 2. Wstawiamy do wzoru na odległość prostej od punktu i mamy:

2 = |5a-2*(-1)|/√(a²+(-1)²)

2=|5a+2|/√(a²+1)

2√(a²+1)=|5a+2| podnosimy do kwadratu

4(a²+1)=(5a+2)²

4a²+4=25a²+20a+4

21a²+20a=0

a(21a+20)=0

a=0 lub 21a=-20 skąd a=-20/21.

Mamy więc dwie styczne: y=0 oraz y=-20/21x.