Question

Znajdź równanie stycznej do paraboli y = 2 − x[tex]^{2}[/tex] , która ogranicza wraz z dodatnimi półosiami układu współrzędnych trójkąt o najmniejszym polu.

Answer 1

Odpowiedź:
[tex]$y=-\frac{2\sqrt{6}}{3}x+\frac{8}{3}[/tex]
Rozwiązanie:

[tex]f(x)=2-x^{2}[/tex]

Zaczynamy od wyznaczenia równania stycznej. Ustalmy parametr [tex]k[/tex] [tex]\in \mathbb{R}[/tex].

Pochodna:

[tex]f'(x)=-2x[/tex]

Styczna w punkcie [tex](k,f(k))[/tex] :

[tex]y=f'(k)(x-k)+f(k)[/tex]

[tex]y=-2k(x-k)+2-k^{2}=-2kx+k^{2}+2[/tex]

Obliczamy teraz współrzędne punktów przecięcia stycznej z osiami układu współrzędnych:

z osią [tex]OX[/tex] :

[tex]$-2kx+k^{2}+2=0 \iff x=\frac{k^2+2}{2k} \ \text{dla} \ k \neq 0[/tex]

[tex]$P_{x}=\Big(\frac{k^2+2}{2k},0\Big)[/tex]

z osią [tex]OY[/tex] :

[tex]y=k^{2}+2[/tex]

[tex]$P_{y}=(0,k^2+2)[/tex]

Przechodzimy do pola trójkąta:

[tex]$P(k)=\frac{1}{2} \cdot \frac{k^2+2}{2k} \cdot (k^{2}+2) =\frac{(k^2+2)^2}{4k} \ \text{dla} \ k \neq 0[/tex]

Sprawdzamy, kiedy pole jest najmniejsze:

[tex]$P'(k)=\frac{2(k^{2}+2) \cdot 2k \cdot 4k-4(k^{2}+2)^{2}}{16k^{2}}=\frac{(k^{2}+2)(16k^{2}-4k^{2}-8)}{16k^{2}}=[/tex]

[tex]$=\frac{(k^2+2)(3k^2-2)}{4k^2}[/tex]

[tex]$P'(k)=0 \iff \frac{(k^2+2)(3k^2-2)}{4k^2}=0 \iff 3k^{2}-2=0[/tex]

[tex]$k^{2}=\frac{2}{3} \iff k=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
Zauważmy, że znak pochodnej zależy tylko od wyrażenia [tex]3k^{2}-2[/tex]. Stąd wiemy, że:

[tex]$P'(k) > 0 \ \text{dla} \ k \in \Big(-\infty,-\frac{\sqrt{6}}{3}\Big) \cup \Big(\frac{\sqrt{6}}{3},\infty\Big)[/tex]

[tex]$P'(k) < 0 \ \text{dla} \ k \in \Big(-\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}\Big)[/tex]

Stąd wynika, że funkcja [tex]P(k)[/tex] osiąga minimum lokalne dla [tex]$k=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex].

Pozostaje wyznaczyć równanie stycznej dla [tex]$k=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex] :

[tex]$y=-2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} x+\Big(\frac{\sqrt{6}}{3}\Big)^2+2=-\frac{2\sqrt{6}}{3}x+\frac{8}{3}[/tex]