Question

Podaj wszystkie wartości parametru m, dla których równanie[tex]|x^{2} -6x+5|+m-2=0[/tex] ma dokładnie dwa dodatnie rozwiązania.

Zrobiłam to w ten sposób, że rozważyłam dwa przypadki, kiedy [tex]|x^{2} -6x+5|[/tex] jest dodatnie oraz kiedy jest ujemne. Potem dla każdego z tych przypadków dałam założenia:
1). Δ>0
2). [tex]x_{1} x_{2} \ \textgreater \ 0[/tex]
3). [tex]x_{1} +x_{2} \ \textgreater \ 0[/tex]

Jednak rozwiązanie wyszło mi sprzeczne z książką. Wiem już w jaki inny sposób można rozwiązać, ale prosiłabym o wytłumaczenie, dlaczego tamten sposób jest zły. Wydaje mi się, że nie zrobiłam żadnych błędów rachunkowych.
Z góry dziękuję :)

Answer 1

Rozwiązanie:

Ja zrobiłbym to tak:

Po lewej stronie mamy wartość bezwzględną, więc musimy założyć, że:

Teraz rozbijamy to równanie na dwa przypadki:

∨

∨

Teraz spójrzmy, że takie rozbicie może mieć aż cztery różne rozwiązania. Zatem nie wolno nam szukać dwóch rozwiązań w każdym z przypadków. Musimy rozważyć takie możliwości: pierwsze równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, a drugie w ogóle nie ma rozwiązań lub pierwsze równanie nie ma w ogóle rozwiązań, a drugie ma dwa rozwiązania dodatnie i sprawdzić, co się stanie gdy po prawej stronie dostaniemy , czyli .

° Pierwsze równanie ma dwa rozwiązania dodatnie, a drugie w ogóle nie ma rozwiązań:

Pierwsze równanie:

Zatem:

∈

Drugie równanie:

Zatem ostatecznie z tych warunków:

∈

° Pierwsze równanie nie ma w ogóle rozwiązań, a drugie ma dwa rozwiązania dodatnie:

Pierwsze równanie:

Drugie równanie:

Zatem:

∈

Zatem ostatecznie z tych warunków:

∈

°

Zatem gdy , to warunki zadania są spełnione.

Uwzględniamy teraz wszystkie warunki zadania (w szczególności ) i otrzymujemy odpowiedź do zadania:

∈ ∪