Question

Dana jest parabola y = -[tex]x^{2}[/tex] i punkt P (0,-6). Wyznacz współrzędne punktów należących do paraboli wiedząc, że ich odległości od punktu P są najmniejsze.

Answer 1

Verified answer

Parabola, odległość od punktu, pochodne - minimalizacja.

1. Wiemy, że dowolny punkt na paraboli opisanej równaniem musi z definicji być postaci:
   
2. Kwadrat odległości od punku do punktu wynosi:
   
   (ponieważ odległość z definicji jest liczbą dodatnią, najmniejsza odległość odpowiada najmniejszemu kwadratowi odległości)
3. Upraszczamy równanie:
   
   i liczymy pochodną:
   
4. W minimum (ekstremum) pochodna jest równa zero:
   
5. Co odpowiada punktom na paraboli o współrzędnych:
   oraz oraz

Pierwsza pochodna funkcji:

jest równa: