Rozwiąż nierówność: [tex]2^{x} +2^{x-1}+2^{x-2}+...\leq 2 *\sqrt[2]{3 * 2^x +4}[/tex] Daję 90 pkt! D.... Question from @szyssp

platon1984

Lewa strona to szereg geometryczny

$\frac{2^x}{1-\frac{1}{2}}\leq 2\sqrt{3\cdot 2^x+4}\\2\cdot2^x\leq 2\sqrt{3\cdot2^x+4}\\2^x\leq\sqrt{3\cdot2^x+4}\\2^x=\xi > 0\\\xi^2\leq 3\xi+4\\\xi^2-3\xi-4\leq0\\\Delta=9+16=25\\\xi_1=\frac{3-5}{2}=-1 < 0\\\xi_2=\frac{3+5}{2}=4$

$\xi\in(0;4 >$

ograniczam rozwiązania do 0, gdyż x musi być rzeczywiste (dla ξ<0 mamy rozwiązania zespolone, które nie nadają się do nierówności).

$0 < 2^x\leq 4\\-\infty < x\leq 2\\x\in (-\infty;2 >$

pozdrawiam

2 votes Thanks 3

szyssp czym jest to E?

platon1984 E? Może chodzi o \xi - taka grecka literka. W tym wypadku jest to moja zmienna pomocnicza

szyssp aha, rozumiem, zwykle używa się pewnie na poziomie szkolnym litery 't', prawda?

szyssp czy w takim razie nie powinno byc jeszcze założenia, że \xi do całkowitych?

platon1984 Nie ma takiego wymagania, bo 2^x wcale nie musi być całkowite

unicorn05

$2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+...\le2\cdot\sqrt{3\cdot2^x+4}$

$2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+...=2^x+2^{x}\cdot2^{-1}+2^{x}\cdot2^{-2}+...=\\\\ = 2^x+2^{x}\cdot\frac12+2^{x}\cdot(\frac12)^2+...$

Czyli po lewej stronie mamy szereg geometryczny, gdzie: $a_1=2^x,\ \ q = \frac12$

|q| < 1 , czyli szereg jest zbieżny i $S=\dfrac{a_1}{1-q}$

Zatem lewą stronę możemy zapisać jako: $\dfrac{2^x}{1-\frac12}=\dfrac{2^x}{\frac12}=2^x\cdot2$

Czyli mamy:

$2^x\cdot2\le2\cdot\sqrt{3\cdot2^x+4}\qquad/:2\\\\2^x\le\sqrt{3\cdot2^x+4}$

Obie strony nierówności są dodatnie i prawa strona jest większa od 1, więc znak nierówności nie zmieni się jeśli podniesiemy obie strony do kwadratu:

$(2^x)^2\le3\cdot2^x+4\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x-4\le0$

Podstawiając $2^x=t$ (t>0) otrzymamy nierówność kwadratową:

$t^2-3t-4\le0\\\\t^2+t-4t-4\le0\\\\t(t+1)-4(t+1)\le0\\\\(t+1)((t-4)\le0\\\\t_1=-1\not > 0\,,\quad\ t_2=4\\\\t\in(0\,,\ 4\big >$

Czyli wracając do niewiadomej x, mamy: $2^x\in(0\,,\ 4\big >$

$2^x=4\quad\iff\quad x=2$

Z własności funkcji wykładniczej, wiemy, że potęga o podstawie większej od 1, zbliża się do wartości 0, kiedy jej wykładnik dąży do minus nieskończoności.

Zatem:

$\large\boxed {x\in(-\infty\,,\ 2\,\rangle}$

5 votes Thanks 6

Dlaczego w tatrach nie wystepuja lodowce (jak mozna to troche dokladnie)

Rozwiąż: banknot 50 zl rozmieniono na monety po 5 i po 2 zl. oblicz ile monet było każżdego rodzaju jeśli monet dwuzłotowych było o 4 więcej niz 5 zlotowych. pilne!!!!!!!!!!!!!

NAZWISKO KOMPOZYTORA UE HYMNU UE

KIEDY JEST DZIEŃ EUROPY[SZYBKIO

Jakie jest motto UE NA DZISIAJ JAKIE JEST MOTTO UNII EUROPEJSKIEJ

Kto był pierwszym królem polski?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social