Question

[tex] \sf \lim_{x \to3} \: \frac{ \sqrt{x + 4} - \sqrt{2x + 1} }{ \sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 7} } = ... \\ [/tex]
︎ ︎ ︎︎ ︎ ︎︎ ︎ ︎︎ ︎ ︎︎ ︎ ︎︎​

Answer 1

Nilai dari [tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+7}}}[/tex] adalah [tex]\bf{-\frac{\sqrt{70}}{14}}[/tex].

[tex] \: [/tex]

Limit

Pendahuluan

Teorema Limit :

[tex]\scriptsize\mathbf{1.\ \ lim_{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=lim_{x\to a}f(x)\pm lim_{x\to a}g(x)} [/tex]

[tex]\scriptsize\mathbf{2.\ \ lim_{x\to a}\{f(x)\cdot g(x)\},=lim_{x\to a}f(x)\cdot lim_{x\to a}g(x)} [/tex]

[tex]\mathbf{3.\ \ lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)},=\frac{lim_{x\to a}f(x)}{lim_{x\to a}g(x)}} [/tex]

[tex]\mathbf{4.\ \ lim_{x\to a}(k\cdot f(x)),=k\cdot lim_{x\to a}f(x),} [/tex]

==> dengan k adalaha konstanta.

[tex]\mathbf{5.\ \ lim_{x\to a}(f(x))^{n},=(lim_{x\to a}f(x))^{n}}[/tex]

[tex]\mathbf{6.} [/tex]  Jika [tex]\mathbf{f(x)=k}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=k}[/tex], dengan k adalah konstanta.

[tex]\mathbf{7.} [/tex] Jika [tex]\mathbf{f(x)=x}[/tex], maka [tex]\mathbf{lim_{x\to a}f(x)=x}[/tex].

[tex] \: [/tex]

Tips menemukan nilai limit :

1.) Dengan substitusi langsung

Kita hanya memasukkan nilai limitnya pada x (variabel) kedalam fungsi limitnya. Apabila menghasilkan 0/0, maka gunakan cara yg lain.

2.) Pemfaktoran

=> memfaktorkan fungsi dalam limit tersebut. Menghilangkan faktor (x – a), dari pembilang dan penyebut. Lalu apabila ada yang sama kita bisa coret dan menyelesaikannya.

3.) Dikalikan dengan bilangan sekawan

=> Apabila terdapat bentuk akar, maka terlebih dahulu dikalikan sekawan agar bentuk akar hilang, kemudian disederhanakan.

4.) L'Hospital

=> Biasanya kita gunakan ini ketika cara subtisusi langsung gagal (0/0) maka L'Hospital solusinya. Dimana kita hanya menurunkan fungsi limitnya sampai dapat baik adap pembilang maupun penyebutnya.

[tex] \boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}} [/tex]

[tex] \: [/tex]

[tex] \: [/tex]

Pembahasan

Diketahui :

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+7}}}[/tex]

Ditanya :

Hasil dari tersebut...

Jawaban :

Jika disubstitusi langsung, akan menghasilkan 0/0.

Maka dari itu, kita bisa menggunakan 2 metode, yaitu metode kali sekawan dan metode L'Hospital.

[tex]\to[/tex] Metode kali sekawan

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+7}}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1}}{\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+7}}\cdot\frac{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7}}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7}}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1})(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{(3x+1)-(x+7)}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1})(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{2x-6}}[/tex] -> kali sekawan lagi dengan yang satunya lagi.

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1})(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{2x-6}\cdot\frac{(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}{(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{((x+4)-(2x+1))(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{(2x-6)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{(-x+3)(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{(2x-6)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{-(x-3)(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{2(x-3)(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ -\frac{(\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+7})}{2(\sqrt{x+4}+\sqrt{2x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{(\sqrt{10}+\sqrt{10})}{2(\sqrt{7}+\sqrt{7})}}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{2\sqrt{10}}{2(2\sqrt{7})}}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{7}}}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{7}}\cdot\frac{2\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}}[/tex] -> dirasionalkan

[tex]\bf{=-\frac{2\sqrt{70}}{4(7)}}[/tex]

[tex]\boxed{\bf{=-\frac{\sqrt{70}}{14}}}[/tex]

[tex]\to[/tex] Selanjutnya, untuk Metode L'Hospital,

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\frac{d}{dx}(\sqrt{x+4}-\sqrt{2x+1})}{\frac{d}{dx}(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+7})}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}-\frac{1}{\sqrt{2x+1}}}{\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x+7}}}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\frac{\sqrt{2x+1}-2\sqrt{x+4}}{(2\sqrt{x+4})(\sqrt{2x+1})}}{\frac{6\sqrt{x+7}-2\sqrt{3x+1}}{(2\sqrt{3x+1})(2\sqrt{x+7})}}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{\frac{\sqrt{2x+1}-2\sqrt{x+4}}{(2\sqrt{x+4})(\sqrt{2x+1})}}{\frac{(3\sqrt{x+7}-\sqrt{3x+1})}{(\sqrt{3x+1})(2\sqrt{x+7})}}}[/tex]

[tex]\bf{lim_{x\to3}\ \frac{(\sqrt{2x+1}-2\sqrt{x+4})(\sqrt{3x+1})(2\sqrt{x+7})}{(2\sqrt{x+4})(\sqrt{2x+1})(3\sqrt{x+7}-\sqrt{3x+1})}}[/tex]

[tex]\bf{=\frac{(\sqrt{7}-2\sqrt{7})(\sqrt{10})(2\sqrt{10})}{(2\sqrt{7})(\sqrt{7})(3\sqrt{10}-\sqrt{10})}}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{5\sqrt{7}}{7\sqrt{10}}}[/tex] -> Lalu, rasionalkan

[tex]\bf{=-(\frac{5\sqrt{7}}{7\sqrt{10}}\cdot\frac{7\sqrt{10}}{7\sqrt{10}})}[/tex]

[tex]\bf{=-\frac{35\sqrt{70}}{49\cdot10}}[/tex]

[tex]\boxed{\bf{=-\frac{\sqrt{70}}{14}}}[/tex]

Semangat!!! ^^

[tex] \: [/tex]

[tex] \: [/tex]

Pelajari Lebih Lanjut :

• Contoh soal limit pemfaktoran (1) : https://brainly.co.id/tugas/49124277

• Contoh soal limit pemfaktoran (2) : https://brainly.co.id/tugas/49158131

• Contoh soal limit metode L'hospital : https://brainly.co.id/tugas/49886487

[tex] \: [/tex]

[tex] \: [/tex]

Detail Jawaban :

Bab : 7

Sub Bab : Bab 7 - Limit

Kelas : 11 SMA

Mapel : Matematika

Kode kategorisasi : 11.2.6

Kata Kunci : Limit.