Question

1. Dane są proste k,l,m o równaniach:
k:2x+4y-1=0
l: 4x+2y+1=0,
m: 3x+6y-2=0
Oceń prawdziwość zdań:
1 Proste k i l są prostopadłe.
2. proste k i m są równoległe
Poproszę o rozwiązanie i odpowiedź.

2. Prosta k ma równanie y=ax+b natomiast prosta l ma równanie y=cx+d, gdzie a=3, b=-5, c= 1/3, d=-5.
Oceń prawdziwość:
1. Proste k i l są równoległe,
2. Proste k i l są prostopadłe,
3 Proste k i l przecinające się pod kątem a [tex]\neq[/tex] 90*
b=d
a[tex]\neq[/tex]c i a+c [tex]\neq[/tex] -1
a*d-c*b [tex]\neq[/tex] 0

Answer 1

Dwie proste k i l przedstawione w postaci ogólnej moga być względem siebie prosopadłe i równoległe.

prosta l: Ax + Bx + C = 0

prosta k: A₁x + B₁x + C₁ = 0

l || k : AB₁ = A₁B

I ⟂ k : AA₁ = -BB₁

1.

k: 2x + 4y - 1 = 0 ; A = 2 ∧ B = 4 ∧ C = -1

l: 4x + 2y + 1 = 0 ; A = 4 ∧ B = 2 ∧ C = 1

m: 3x + 6y - 2 = 0 ; A = 3 ∧ B = 6 ∧ C = -2

Proste k i l są prostopadłe - Fałsz:

AA₁ = -BB₁

2 * 4 = -(4 * 2)

8 = -8 ← sprzeczność

Proste k i m są równoległe - Prawda:

AB₁ = A₁B

2 * 6 = 3 * 4

12 = 12 ← zawsze prawda

Dwie proste k i l przedstawione w postaci ogólnej moga być względem siebie prosopadłe i równoległe.

prosta l: y = ax + b

prosta k: y = a₁x + b₁

l || k : a = a₁

I ⟂ k : a * a₁ = -1

2.

k: y = 3x - 5

l: y = [tex]\frac{1}{3}[/tex]x - 5

Proste k i l są równoległe - Fałsz:

a = a₁

3 = [tex]\frac{1}{3}[/tex]  ← sprzeczność

Proste k i l są prostopadłe - Fałsz:

a * a₁ = -1

3 * [tex]\frac{1}{3}[/tex] = -1

1 = -1 ← sprzeczność

Proste k i l przecinają się pod kątem α ≠ 90, b = d, a ≠ c i a + c ≠ -1, a * c - c * b ≠ 0 - Prawda:

a = 3 ; b = -5 ; c = [tex]\frac{1}{3}[/tex] ; d = -5

α ≠ 90 ← prawda, ponieważ proste się przecinają (nie są równoległe), ale nie pod kątem prostym (nie są prostopadłe)

b = d ; -5 = -5 ← zawsze prawda

a ≠ c ; 3 ≠ [tex]\frac{1}{3}[/tex] ← zawsze prawda

a + c ≠ -1 ; 3 + [tex]\frac{1}{3}[/tex] ≠ -1 ; [tex]3\frac{1}{3}[/tex] ≠ -1 ← zawsze prawda

a * d - c * b ≠ 0 ; 3 * (-5) - [tex]\frac{1}{3}[/tex] * (-5) ≠ 0 ; -15 - [tex]\frac{5}{3}[/tex] ≠ 0 ; [tex]-16\frac{2}{3}[/tex] ≠ 0 ← zawsze prawda