Question

Znajdź równania prostych stycznych do okręgu [tex]x^{2}[/tex] + [tex]y^{2}[/tex] + 4x − 12 = 0 i jednocześnie do jego obrazu w symetrii osiowej względem prostej 2x − 3y − 22 = 0

Answer 1

Odpowiedź:
[tex]x=2[/tex]
[tex]$y=-\frac{3}{2}x-2\sqrt{13}-3[/tex]
[tex]$y=-\frac{3}{2}x+2\sqrt{13}-3[/tex]
[tex]$y=-\frac{5}{12}x-\frac{31}{6}[/tex]
Rozwiązanie:

[tex]S_{1},S_{2}[/tex] - środki okręgów

[tex]r_{1},r_{2}[/tex] - promienie okręgów

Dany okrąg:

[tex]x^{2}+y^{2}+4x-12=0[/tex]

[tex]x^{2}+4x+4+y^{2}=16[/tex]

[tex](x+2)^{2}+y^{2}=16[/tex]

[tex]S_{1}=(-2,0), \ r_{1}=4[/tex]

Prosta:

[tex]$2x-3y-22=0 \iff y=\frac{2}{3}x-\frac{22}{3}[/tex]

Prosta prostopadła do tej prostej przechodząca przez punkt [tex]S_1[/tex] :

[tex]$y=-\frac{3}{2}x-3[/tex]

Punkt przecięcia tych prostych:

[tex]P=(2,-6)[/tex]

Ustalmy wektor:
[tex]\vec{S_{1}P}=\vec{u}=[2-(-2),-6-0]=[4,-6][/tex]

Ponadto ustalmy wektor:

[tex]$\vec{PS_{2}}=\vec{v}=\Big[x-2,-\frac{3}{2}x-3+6\Big]=\Big[x-2,-\frac{3}{2}x+3\Big][/tex]

Wiadomo, że [tex]\vec{v}=2\vec{u}[/tex]. Stąd mamy:
[tex]$\Big[x-2,-\frac{3}{2}x+3\Big]=[4,-6][/tex]

[tex]x=6[/tex]

[tex]S_{2}=(6,-12)[/tex]

[tex]r_{2}=4[/tex]

Na tym etapie warto pokusić się o rysunek (załącznik). Widać, że ze względu na symetrię osiową będziemy mieli cztery styczne. Biorąc pod uwagę geometrię okręgów możemy stwierdzić, że pierwsza z nich to:

[tex]x=2[/tex]

Dwie kolejne są równoległe do prostej [tex]$y=-\frac{3}{2}x-3[/tex]. Są więc postaci [tex]$y=-\frac{3}{2}x+b[/tex] dla [tex]b \in \mathbb{R}[/tex]. Ta styczna musi mieć jeden punkt wspólny z okręgami. Weźmy pod uwagę pierwszy okrąg. Wtedy mamy:

[tex]$x^{2}+\Big(-\frac{3}{2}x+b\Big)^{2}+4x-12=0[/tex]

[tex]$\Delta_{b}=-4b^{2}-24b+172[/tex]

[tex]$\Delta_{b}=0 \iff b=2\sqrt{13}-3 \vee b=-2\sqrt{13}-3[/tex]

Zatem mamy styczne:

[tex]$y=-\frac{3}{2}x-2\sqrt{13}-3[/tex]

[tex]$y=-\frac{3}{2}x+2\sqrt{13}-3[/tex]

Ostatnia styczna musi przechodzić przez punkt [tex]P[/tex]. Niech będzie ona postaci [tex]y=ax+b[/tex]. Po podstawieniu punktu [tex]P[/tex] mamy [tex]y=ax-2a-6[/tex].

Znowu wykorzystujemy równanie pierwszego okręgu i otrzymujemy:

[tex]x^{2}+(ax-2a-6)^{2}+4x-12=0[/tex]

[tex]\Delta_{a}=-192a-80[/tex]

[tex]$\Delta_{a}=0 \iff a=-\frac{5}{12}[/tex]

Ostatnia styczna:

[tex]$y=-\frac{5}{12}x-\frac{31}{6}[/tex]