Question

Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap soal berikut :

Answer 1

Verified answer

Kelas         : XI
Pelajaran   : Matematika
Kategori     : Persamaan Trigonometri

Untuk sudut-sudut dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π (semua kuadran)

[1] 
cos²x - sin²x = 0
(cos x - sin x)(cos x + sin x ) = 0
(a) cos x - sin x = 0
⇔ sin x = cos x
⇔ tan x = 1 ⇒ x = π/4 (kuadran 1) dan 5π/4 (kuadran 3)
------------------------------- 
(b) cos x + sin x = 0
⇔ tan x = -1 ⇒ x = 3π/4 (kuadran 2) dan 7π/4 (kuadran 4)
∴ HP = {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}

[2] 
2cos²x - 5cos x + 2 = 0
(2cos x - 1)(cos x - 2) = 0
(a) 2cos x - 1 = 0
⇔ cos x = ¹/₂ ⇒ x = π/3 (kuadran1) dan x = 5π/3 (kuadran 4)
----------------------
(b) cos x - 2 = 0
⇔ cos x = 2 ⇒ tidak memenuhi, karena di luar range -1 ≤ cos x ≤ 1
∴ HP = {π/3, 5π/3}

[3]
sin²x + sin x - 2 = 0
(sin x + 2)(sin x - 1) = 0
(a) sin x + 2 = 0
⇔ sin x = - 2 ⇒ tidak memenuhi, karena di luar range -1 ≤ sin x ≤ 1
--------------------
(b) sin x = 1 ⇒ hanya x = π/2 yang memenuhi
∴ HP = {π/2}

[4]
2sin²x - 3x + 1 = 0
(2sin x - 1)(sin x - 1) = 0
(a) 2 sin x - 1 = 0
⇔ sin x = ¹/₂ ⇒ x = π/6 (kuadran 1) dan x = 5π/6 (kuadran 2)
-----------------------
(b) sin x - 1 = 0
⇔ sin x = 1 ⇒ x = π/2
∴ HP = {π/6, π/2, 5π/6}

[5]
3cos x - 2 sin²x + 3 = 0
3cos x - 2(1 - cos² x) + 3 = 0
3cos x - 2 + 2cos²x + 3 = 0
2cos²x + 3cos x + 1 = 0
(2cos x + 1)(cos x + 1) = 0
(a) 2cos x + 1 = 0
⇔ cos x = - ¹/₂ ⇒ x = 2π/3 (kuadran 2) dan x = 4π/3 (kuadran 3)
-----------------------------
(b) cos x + 1 = 0
⇔ cos x = -1 ⇒ x = π
∴ HP = {π, 2π/3, 4π/3}

[6]
2cos²x + sin x = 0
2(1 - sin²x) + sin x = 0
2 - 2sin²x + sin x = 0
2sin²x - sin x - 2 = 0
Pengerjaan ini terpaksa tak dapat dilanjutkan karena meskipun diolah persamaan kuadratnya dengan rumus ABC untuk mendapatkan akar-akar, nilai sudut-sudut istimewa tak dapat diperoleh

[7] 
(cos x + 1)² = (sin x)² 
cos²x + 2cos x + 1 = sin²x
cos²x + 2cos x + 1 = 1 - cos²x
2cos²x + 2cos x = 0
2cos x (cos x + 1) = 0
(a) 2cos x = 0
⇔ cos x = 0° ⇒ x = π/2 dan x = 3π/2
----------------------
(b) cos x + 1 = 0
⇔ cos x = -1 ⇒ x = π
∴ HP = {π/2, π, 3π/2}

[8] cos x + √3sin x = 1
Bentuk acos x + bsin x diubah menjadi k.cos (x - α)
k = √ [a² + b²], dengan a = 1 dan b = √3
k = √ [(1)² + (√3)²]
k = 2
tan α = ᵇ/ₐ
tan α = +√3 / +1 ⇒ kuadran I
tan α = √3
α = π/3
Bentuk cos x + √3sin x = 1 menjadi 2cos (x - π/3) = 1
cos (x - π/3) = ¹/₂
cos (x - π/3) = cos (π/3)
(a) x - π/3 = π/3 + n.2π
⇔ x = 2π/3 + n.2π
⇔ n = 0 ⇒ x = 2π/3
------------------
(b) x - π/3 = - π/3 + n.2π
⇔ x = n.2π
⇔ n = 0 ⇒ x = 0 
⇔ n = 1 ⇒ x = 2π 

∴ HP = {0, 2π/3, 2π}