agar 4n⁴ + 11n² + 25 merupakan bilangan prima, maka salah satu faktor nya harus habis dibagi oleh 1.
karena 4n⁴ + 11n² + 25 > 25, maka ada beberapa kemungkinan dari perkalian faktor-faktornya, yaitu : - positif × positif = positif - negatif × negatif = positif
karena berapapun dibagi 1 hasilnya tetap, maka kita memiliki 4 kasus, yaitu :
• Kasus 1 : 2n² + 3n + 5 = 1
2n² + 3n + 5 = 1 2n² + 3n + 4 = 0
cek diskriminan, maka: D = b² - 4ac D = 3² - 4(2)(4) D = 9 - 32 D = -27
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 1 tidak memiliki solusi
• Kasus 2 : 2n² - 3n + 5 = 1
2n² - 3n + 5 = 1 2n² - 3n + 4 = 0
cek diskriminan, maka: D = b² - 4ac D = (-3)² - 4(2)(4) D = 9 - 32 D = -27
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 2 tidak memiliki solusi.
• Kasus 3 : 2n² + 3n + 5 = -1
2n² + 3n + 5 = -1 2n² + 3n + 6 = 0
cek diskriminan, maka: D = b² - 4ac D = (3)² - 4(2)(6) D = 9 - 48 D = -39
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 3 tidak memiliki solusi
• Kasus 4 : 2n² - 3n + 5 = -1
2n² - 3n + 5 = -1 2n² - 3n + 6 = 0
cek diskriminan, maka: D = b² - 4ac D = (-3)² - 4(2)(6) D = 9 - 48 D = -39
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 4 tidak memiliki solusi
Jadi, bilangan asli n yang menyebabkan 4n⁴ + 11n² + 25 prima adalah tidak ada
Verified answer
Karena n adalah bilangan asli, maka:n > 0
n² > 0
n⁴ > 0
4n⁴ > 0
4n⁴ + 11n² > 0
4n⁴ + 11n² + 25 > 25
untuk mempermudah pengerjaan, maka kita akan memfaktorkan 4n⁴ + 11² + 25
4n⁴ + 11n² + 25
= 4n⁴ + (20n² - 9n²) + 25
= 4n⁴ + 20n² + 25 - 9n²
= (2n² + 5)² - (3n)²
= (2n² + 3n + 5)(2n² - 3n + 5)
agar 4n⁴ + 11n² + 25 merupakan bilangan prima, maka salah satu faktor nya harus habis dibagi oleh 1.
karena 4n⁴ + 11n² + 25 > 25, maka ada beberapa kemungkinan dari perkalian faktor-faktornya, yaitu :
- positif × positif = positif
- negatif × negatif = positif
karena berapapun dibagi 1 hasilnya tetap, maka kita memiliki 4 kasus, yaitu :
• Kasus 1 : 2n² + 3n + 5 = 1
2n² + 3n + 5 = 1
2n² + 3n + 4 = 0
cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = 3² - 4(2)(4)
D = 9 - 32
D = -27
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 1 tidak memiliki solusi
• Kasus 2 : 2n² - 3n + 5 = 1
2n² - 3n + 5 = 1
2n² - 3n + 4 = 0
cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (-3)² - 4(2)(4)
D = 9 - 32
D = -27
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 2 tidak memiliki solusi.
• Kasus 3 : 2n² + 3n + 5 = -1
2n² + 3n + 5 = -1
2n² + 3n + 6 = 0
cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (3)² - 4(2)(6)
D = 9 - 48
D = -39
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 3 tidak memiliki solusi
• Kasus 4 : 2n² - 3n + 5 = -1
2n² - 3n + 5 = -1
2n² - 3n + 6 = 0
cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (-3)² - 4(2)(6)
D = 9 - 48
D = -39
karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 4 tidak memiliki solusi
Jadi, bilangan asli n yang menyebabkan 4n⁴ + 11n² + 25 prima adalah tidak ada