Question

Temukan semua bilangan asli n yang menyebabkan
4n⁴ + 11n² + 25 prima​

Answer 1

Verified answer

Karena n adalah bilangan asli, maka:
n > 0
n² > 0
n⁴ > 0
4n⁴ > 0
4n⁴ + 11n² > 0
4n⁴ + 11n² + 25 > 25

untuk mempermudah pengerjaan, maka kita akan memfaktorkan 4n⁴ + 11² + 25

4n⁴ + 11n² + 25
= 4n⁴ + (20n² - 9n²) + 25
= 4n⁴ + 20n² + 25 - 9n²
= (2n² + 5)² - (3n)²
= (2n² + 3n + 5)(2n² - 3n + 5)

agar 4n⁴ + 11n² + 25 merupakan bilangan prima, maka salah satu faktor nya harus habis dibagi oleh 1.

karena 4n⁴ + 11n² + 25 > 25, maka ada beberapa kemungkinan dari perkalian faktor-faktornya, yaitu :
- positif × positif = positif
- negatif × negatif = positif

karena berapapun dibagi 1 hasilnya tetap, maka kita memiliki 4 kasus, yaitu :


• Kasus 1 : 2n² + 3n + 5 = 1

2n² + 3n + 5 = 1
2n² + 3n + 4 = 0

cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = 3² - 4(2)(4)
D = 9 - 32
D = -27

karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 1 tidak memiliki solusi


• Kasus 2 : 2n² - 3n + 5 = 1

2n² - 3n + 5 = 1
2n² - 3n + 4 = 0

cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (-3)² - 4(2)(4)
D = 9 - 32
D = -27

karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 2 tidak memiliki solusi.


• Kasus 3 : 2n² + 3n + 5 = -1

2n² + 3n + 5 = -1
2n² + 3n + 6 = 0

cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (3)² - 4(2)(6)
D = 9 - 48
D = -39

karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 3 tidak memiliki solusi


• Kasus 4 : 2n² - 3n + 5 = -1

2n² - 3n + 5 = -1
2n² - 3n + 6 = 0

cek diskriminan, maka:
D = b² - 4ac
D = (-3)² - 4(2)(6)
D = 9 - 48
D = -39

karena D < 0, maka akar-akar nya tidak real sehingga pada kasus 4 tidak memiliki solusi


Jadi, bilangan asli n yang menyebabkan 4n⁴ + 11n² + 25 prima adalah tidak ada