Question

Temat: zadanie tekstowe prowadzace do rownan i nierownosci kwadratowych

1.Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi 5.Jesli te liczbe pomnozymy przez liczbe dwucyfrowa o tych samych cyfrach, ale zapisanych w odwrotnej kolejnosci to otrzymamy 736.Wyznacz te liczbe
2.W trzycyfrowej liczbie naturalnej cyfra setek jest taka sama jak cyfra jednosci, zas cyfra dziesiatek jest o 3 wieksza od cyfry jednosci.Jezeli te liczbe zmniejszymy o kwadrat sumy jej cyfr to otrzymamy 105.Wyznacz te liczbe trzycyfrowa
3.Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8,zas suma kwadratow jej cyfr jest rowna 30.Jesli w liczbie zmienimy cyfry skrajne to otrzymana liczba bedzie o 396 wieksza od poczatkowej.wyznacz te liczbe trzycyfrowa.
4.Ile bokow ma wielokat wypykly w ktorym liczba przekatnych jest o 117 wieksza od liczby jego bokow.
5.Na plaszczyznie zaznaczono n punktow z ktorych dowolne trzy nie sa wspolliniowe.Nastepnie polaczono te punkty odcinkami .Ile jest tych punktow jesli wyznaczyly one 15 odcinkow?
6.Na spotkaniu towarzyskim kazdy uczestnik spotkania przywital sie z kazdym z pozostalych i w ten sposob wymieniono 45 usciskow dloni.Ile osob uczestniczylo w tym spotkaniu.

Answer 1

1)10x+y -szukana liczba
10y+x - po przestawieniu cyfr

x+y=5
(10x+y)(10y+x)=736

y=5-x
(10x+5-x)(50-10x+x)=736
(9x+5)(50-9x)=736
450x-81x²+250-45x-736=0
-81x²+405x-486=0 /:(-9)
9x²-45x+54=0 /:9
x²-5x+6=0
Δ=25-24=1
x₁=2
x₂=3
y=3 lub 2
czyli jest to liczba 23 lub 32


2)
a - cyfra setek
b - cyfra dziesiątek
c - cyfra jedności

a = c
b = 3 + c
100 * a + 10 * b + c - (a + b + c)² = 105

c = a
b = a + 3

100 * a + 10 * (a + 3) + a - (a + a + 3 + a)² = 105
100 * a + 10 * a + 30 + a - (3a + 3)² = 105
111 a + 30 - 9 * (a + 1)² = 105
111 a - 9(a + 1)² - 75 = 0
37 a - 3(a + 1)² - 25 = 0
-3a² - 6a - 3 + 37a - 25 = 0
-3a² +31a - 28= 0
3a² -31a + 28= 0
(3a - 28)(a - 1) = 0
a = 28/3 lub a = 1
a jest liczbą naturalną, więc a = 1
c = a = 1
b = a + 3 = 4

Odp. Ta liczba to 141.


3) Niech a,b,c - cyfry liczby (kolejno setek, dziesiątek, jedności)
Układamy równania, wynikające z treści:
/a+b+c=8
/a^2+b^2+c^2=30
/100a+10b+c=100c+10b+a+396 => a=4+c

4+c+b+c=8 => b=4-2c
(4+c)^2+b^2+c^2=30 => 16+8c+c^2+(4-2c)^2+c^2=30

z ostatniego równania wychodzi c1=-2/3 c2=2; pierwszą opcję odrzucamy ze względu na to, że szukamy jedynie liczb całkowitych dodatnich /z treści/

podstawiamy:
b=4-2*2 => b=0
a=4+2=6
c=2

Odp: Szukana liczba to 602.
pozdrawiam.


4)Zauważmy, że n-kąt wypukły ma przekątnych
n(n-3)/2.
Istotnie z każdego wierzchołka (a jest ich n) możemy wyprowadzić n-3 przekątne (nie da się poprowadzić przekątnej do tego samego wierzchołka, ani do dwóch sąsiednich, skąd czynnik n-3). W ten sposób jednak każda przekątna została policzona dwukrotnie, bo raz jako wychodząca z jednego jej końca i drugi raz jako wychodząca z drugiego jej końca.
Z treści zadania mamy więc równanie
n(n-3)/2-117=n
n(n-3)-234=2n
n²-5n-234=0
Δ=25+936=961
√Δ=31
n=(5-31)/2=-13 nie jest naturale
lub
n=(5+31)/2=18.
Odp. Wielokąt ma 18 boków.

5)

6)Było n osób. Każda osoba przywitała się więc z (n-1) osobami (nie witała się z sobą). Pamiętajmy również, że uścisk od A do B to to samo co uścisk od B do A. Więc można nasze równanie zapisać:[załącznik]