Question

Szkola!

Znajdź wszystkie pierwiastki wymierne wielomianu:
W(x)=3x^6-21x^5+9x^4+25x-15

Answer 1

Jezeli wielomian ma pierwiastki wymierne postaci p/q, to sa one dzielnikiem wyrazu wolnego lub ilorazu ostatniego i pierwszego wspolczynnika.
Mamy do sprawdzenia nastepujace liczby, w celu sprawdzenia, czy dla takiej liczby r, W(r)=0.
-1, 1, 5, -5, 15, -15, 1/5, -1/5.
Sprawdzenie rachunkowe jest dosc zmudne i okazuje sie, ze zadna z tych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Dowod:
Wszystkie wspolczynniki wielomianu sa nieparzyste, zatem jezeli istnieje taka liczba r=p/q, to
wyrazenie P(x)=(3x⁶-21x⁵+9x⁴+25x) jest liczba parzysta  (ulamek nieskracalny p/q, gdzie licznik jest parzysty i mianownik nieparzysty)
Wobec tego P(x)-15≠0
q.e.d.
Odp. Wielomian ten nie ma pierwiastkow wymiernych.