Szkola letnia ! zad.773 z zalącznika.... Question from @Spokojnaanka

January 2019 1 18 Report

Szkola letnia !
zad.773 z zalącznika

Mathēmatikós Na początku objętość:

1. Wysokość czworościanu foremnego.

$( \frac{a \sqrt{3} }{3})^{2}+H^{2}=a^{2} \\ \\ H^{2}=a^{2}- \frac{3a^{2}}{9} \\ \\ H^{2}=a^{2}- \frac{a^{2}}{3} \\ \\ H^{2}= \frac{2}{3} a^{2} \\ \\ H= \sqrt{ \frac{2}{3} } a= \frac{ \sqrt{6} }{3}a$

2. Objętość

$V= \frac{1}{3}Pp*H \\ \\ V= \frac{1}{3}* \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}* \frac{ \sqrt{6} }{3}a= \frac{a^{3} \sqrt{18} }{36} = \frac{3a^{3} \sqrt{2} }{36} = \frac{ \sqrt{2} }{12}a^{3}$

Ścian boczna jest trójkątem równobocznym.

Promień okręgu opisanego na nim ma długość

$R= \frac{2}{3}h \\ \\ R= \frac{2}{3}* \frac{a \sqrt{3} }{2} = \frac{a \sqrt{3} }{3}$

Pole prostokąta wynosi

$P=H*R \\ \\ P= \frac{ \sqrt{6} }{3}a*\frac{a \sqrt{3} }{3} =\frac{a^{2} \sqrt{18} }{9} =\frac{3a^{2} \sqrt{2} }{9} = \frac{a^{2} \sqrt{2} }{3}$

Bok kwadratu

$P=a^{2} \\ \\ a^{2}=1,125 \\ \\ a^{2}= \frac{9}{8} \\ \\ a= \sqrt{ \frac{9}{8} }= \frac{3}{2 \sqrt{2} } = \frac{3 \sqrt{2} }{4}$

Teraz odejmujemy

$P-V= \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ \frac{a^{2} \sqrt{2} }{3} - \frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} = \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ \frac{4a^{2} \sqrt{2} }{12} - \frac{a^{3} \sqrt{2} }{12} = \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ \frac{4a^{2} \sqrt{2}-a^{3} \sqrt{2} }{12}= \frac{3 \sqrt{2} }{4} \\ \\ 4(4a^{2} \sqrt{2}-a^{3} \sqrt{2})=36 \sqrt{2} \\ \\ 4a^{2} \sqrt{2}-a^{3} \sqrt{2}=9 \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2}(4a^{2}-a^{3})=9 \sqrt{2}$

$4a^{2}-a^{3}=9 \\ \\ -a^{3}+4a^{2}-9=0 \\ \\ -a^{3}+3a^{2}+a^{2}-3a+3a-9=0 \\ \\ -a^{2}(a-3)+a(a-3)+3(a-3)=0 \\ \\ (a-3)(-a^{2}+a+3)=0 \\ \\ -(a-3)(a^{2}-a-3)=0 \\ \\ a-3=0 \ \vee \ a^{2}-a-3=0$

$a=3 \\ \\ \Delta=(-1)^{2}-4*1*(-3)=1+12=13 \\ \\ a_{1}= \frac{1- \sqrt{13} }{2} \not\in D \\ \\ a_{2}= \frac{1+ \sqrt{13} }{2}$

Odp.

$\boxed{a=3[dm]} \ \vee \ \boxed{a= \frac{1+ \sqrt{13} }{2}[dm] }$

1 votes Thanks 2