Question

Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny równa się 26. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 1,6,3, to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Answer 1

a,b,c ciąg geometryczny, czyli

a

b=aq

c=aq²

a+b+c=26, czyli a+aq+aq²=26, dalej a(1+q+q²)=26/:(1+q+q²)

a=26/(1+q+q²)

 

 

a+1,b+6,c+3 ciąg arytmetyczny, czyli:

b+6-(a+1)=c+3-(b+6)

b+6-a-1=c+3-b-6

b-a-c+b=-6+1+3-6

2b-a-c=-12+4/:(-1)

a-2b+c=8{ponieważ a,b i c są z ciągu geometrycznego, to wykorzystamy to, że b=aq i c=aq²}

a-2aq+aq²=8

a(1-2q+q²)=8/:(1-2q+q²)

a=8/(1-2q+q²), teraz z pierwszego równania a=26/(1+q+q²) wstawimy zamiast a do tego teraz,

26/(1+q+q²)=8/(1-2q+q²), mnożymy na krzyż

26×(1-2q+q²)=8×(1+q+q²)

26-52q+26q²=8+8q+8q²

26-52q+26q²-8-8q-8q²=0

18q²-60q+18=0/:6

3q²-10q+3=0

Δ=100-4×3×3=100-36=64, pierwiastek z Δ=8

q_1=(10-8)/6=2/6=1/3

q_2=(10+8)/6=18/6=3

 

pierwsze rozwiązanie:

a_1=26/(1+1/3+(1/3)²)=26/(1+1/3+1/9)=18, i tak odpowiednio

a=18, b=18×1/3=6, c=18×1/9=2

 

drugie rozwiązanie:

a_2=26/(1+3+9)=2

a=2, b=2×3=6, c=2×=18

Powodzenia