Question

Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny równa się 26. Jeżeli do tych liczb dodamy odpowiednio 1,6,3 to otrzymane sumy utworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz te liczby.

Answer 1

Podany ciąg geometryczny: a, b, c
Wiemy, że a+b+c = 26

Niech:
d = a+1
e = b+6
f = c+3

Wiemy, że d, e, f jest ciągiem arytmetycznym, czyli d+f = 2e

Ponadto:
d + e + f = a+1 + b+6 + c+3 = a+b+c + 10 = 26 + 10 = 36

Z drugiej strony d + e + f = (d+f) + e = 2e + e = 3e
Czyli 3e = 36
e = 12
b = e - 6 = 12 - 6 = 6

Wiemy, że a/b = b/c bo to ciąg geometryczny
czyli
a/6 = 6/c | *6c
ac = 36
Ponadto a + c = 26 - b = 26 - 6 = 20

Czyli mamy uklad rownan:
ac = 36
i a+c = 20
czyli c = 20 - a

czyli
a * (20-a) = 36
20a - a² = 36
a² - 20a + 36 = 0
delta = 400 - 4 * 36 = 256 = 16²

a1 = (20 - 16) / 2 = 4 / 2 = 2
a2 = (20 + 16) / 2 = 36 / 2 = 18

i mamy c1 = 20 - 2 = 18
c2 = 20 - 18 = 2

Stąd otrzymujemy 2 rozwiązania:
2, 6, 18 oraz 18, 6, 2

Po sprawdzeniu okazuje się, że oba ciągi spełniają warunki z zadania