Question

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15.Jeżeli do tych liczb dodać odpowiednio 1,4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny.Wyznacz te liczby.

Answer 1

 Ciąg arytmetyczny: a, b, c

a + b + c = 15
2b = a + c

ciąg geometryczny: a + 1, b + 4, c + 19.
(b + 4)2 = (a + 1) * (c + 19)

Układ równań:

1. a + b + c = 15
2. 2b = a + c
3. (b + 4)2 = (a + 1) * (c + 19) 

 

Jeśli a + c = 2b
to
1. 2b + b = 15 ⇒ 3b = 15 ⇒ b = 5

Teraz mamy prostszy układ równań:
1. a + c = 10
3. 81 = (a + 1)*(c + 19)

1. c = 10 − a
3. 81 = (a + 1)*(10 − a + 19) ⇒ 81 = (a + 1)*(29 − a) 

 

a2 − 28a + 52 więc Δ= 576 to √Δ= 24
a1 = 26 i a2 = 2
to c1 = 10 −26 i c2 = 10 − 2
c1 = −16 i c2 = 8 

Answer 2

a+(a+r)+(a+2r) = 15

3a + 3r = 15  /:3

a+r = 5

r = 5 - a

 

W ciągu geometrycznym:         

S = b + b*q + b*q*q

 

b*q*q / b*q = q

b*q / b = q

 

\frac{b*q*q}{b*q } = \frac{b*q}{b}

 

b = a+1

b*q = (a+r) + 4 = 9

b*q*q = (a+2r) + 19 = (a+r) + r + 19 = 5 + r + 19 = r + 24

 

(a+1) * ( r + 24) = 9*9

ar + 24a + r + 24 = 81

ar + 24a + r = 57

 

wstawiamy uprzednio wuliczone r:

a*(5-a) + 24a + (5 - a)=57

5a - a*a+24a - a -52 = 0

-a*a + 28a - 52 = 0

 

delta=576

pierw. z delty = 24

 

a1 = 2;   r1 = 3; wówaczas odp: 2; 5; 8

a2 = 21; r2 = -16; wówaczas odp: 21; 5; -11