Question

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.

Answer 1

Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny równa się 15. Jeżeli do tych liczb dodamy 1, 4,19 to otrzymane sumy utworzą ciąg geometryczny. Wyznacz te liczby.
Korzystam ze wzoru n-ty wyrz ciagu atytmetycznego
a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a1 + a2 + a3 = 15 wyrazy ciągu arytmetycznego
a1 + a1 + 2r+ a1 + 2r = 15
3a1 + 3r = 15 /:3
a1 + r = 5
a1 = 5 -r

a1 +1 , a1 +r + 4 , a1 + 2r + 19 -wyrazy ciągu geometrycznego
5 -r +1, 5 -r +r +4, 5 -r + 2r +19
6 -r , 9 , r + 24 - wyrazy ciagu geometrycznego

Korzystam ze wzoru na środkowy wyraz trzy-wyrazowego ciągu geometrycznego

a(n)² = a(n-1)* a(n+1)
9² = (6-r)( r +24)
(6-r)( r +24) = 9²
6r + 144 -r² -24r -81 = 0
-r² -18r +63 = 0 /*(-1)
r² + 18r - 63 = 0
Δ = 18² - 4*1*(-63) = 324 + 52 = 576
√Δ =√ 576 = 24
r1 = (-18 - 24): 2*1 = (-42) :2 = -21
r2 = (-18 +24): 2*1 = 6 : 2 = 3


Mamy 2 rozwiazania
r = -21 lub r = 3
a1 = 5 -r= 5 -(-21) = 5 + 21 = 26 a1 = 5 -r = 5 -3 = 2

r= -21 lub r = 3
a1 = 26 a1 = 2

Obliczam wyrazy ciagu arytmetycznego
dla r = -21
a1 = 26

a2 = a1 + r = 26+ (-21) = 5
a3 = a1 + 2r = 26 +2*(-21) = 26 -42 = -16

Obliczam wyrazy ciagu geometrycznego
a1 = 26+1 = 27
a2 = 5 + 4 = 9
a3 = (-16) +19 = 3

Obliczam wyrazy ciągu arytmetycznego
dla r = 3
a1 = 2

a2 = a1 + r = 2 + 3 = 5
a3 = a1 + 2r = 2 + 2*3 =2 + 6 = 8
Oblczam drugie rozwiazanie wyrazy ciagu geometrycznego
a1 = 2 +1 = 3
a2 = 5 + 4 = 9
a3 = 8 + 19 = 27