Question

Suma pierwszego i czwartego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 48, a suma drugieg wyrazu i piątego jest równa 24.
a) Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz tego ciągu.
b) Podaj wzór na ogólny wyraz tego ciągu.
c) Oblicz sumę ośmiu początkowych wyrazów ciągu.

Answer 1

A₁ + a₄ = 48
a₂ + a₅ = 24

a₂ = a₁*q
a₄ = a₁*q³
a₅ = a₁*q⁴

a₁ + a₁*q³ = 48
a₁*q + a₁*q⁴ = 24

a₁(1 + q³) = 48
a₁(q + q⁴) = 24

1 + q³ ≠ 0 (bo dla q = - 1 mamy sprzeczność 0 = 48)
a₁ = 48 / (1 + q³)
48 / (1 + q³) * (q + q⁴) = 24
48 / (1 + q³) * q(1 + q³) = 24
48q = 24
q = 1/2
a₁ = 48 / (1 + q³) = 48 / (1 + 1/8) = 48 * 8 / 9 = 16 * 8 / 3 = 128 / 3

S₅ = 128 / 3 * (1 - (1/2)⁵)/(1 - 1/2) = 128 / 3 * (1 - 1/32)/(1 - 1/2) = 128 / 3 * (31/32)/(1/2) = 128 / 3 * (2*31/32) = 31*2*4 / 3 = 248/3

a)
q = 1/2
a₁ = 128/3

b)
a_n = a₁ * q^{n - 1} = 128/3 * (1/2)^{n - 1}

c)
S₅ = 248/3

jak masz pytania to pisz na pw