Question

suma długości przekątnych rombu jest rowna 8(1+√3) cm, a miara kąta ostrego wynosi 60 stopni. Oblicz pole i obwód rombu.

Answer 1

niech d₁ będzie przekątną przy kącie ostrym α, α=60⁰

d₂ druga przekątna

Wiadomo, że w rombie przekątne przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym oraz że pokrywają się z dwusiecznymi kątów, czyli innymi słowy dzielą ten kąt na połowę. Te połowa kąta ozn. β będzie wynosić 60⁰/2 czyli β=30⁰.

wiadomo, że d₁+d₂=8(1+√3)

polowy przekątnych w rombie i jego bok tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych d₁/2, d₂/2 oraz przeciwprostokątnej a i kącie ostrym β=30⁰ (przy d₁/2)

ctgβ = (d₁/2) / (d₂/2)

ctg30⁰ = (d₁/2) * (2/d₂)

√3= d₁/d₂

d₁=d₂√3

 

podstawmy do znanej dumy na długości przekątnych

d₂√3 + d₂ =  8(1+√3)

d₂(√3+1)=8(1+√3)

d₂(1+√3)=8(1+√3)

d₂=8 cm

 

d₁=d₂√3

d₁=8√3 cm

 

oprócz powyższej zależności oczywiści zachodzi

sinβ = (d₂/2) / a

sin30⁰=(d₂/2) / a

1/2 = d₂/2a

2a=2d₂

a=d₂

a=8cm

 

Obwód O=4a=4*8=32cm

Pole S=d₁*d₂/2 = 8 * 8√3/2 = 32√3 cm²