Question

Zadanie dla klasy 2 liceum z matematyki rozszerzonej, ktoś pomoże? :)

zadanie 1/strona 178 p.

a) 2 sinx < pierwiastek z 2 b) 2 sinx (większe równe) pierwiastek z 3
c) 2 cosx (większe równe) -pierwiastek z 3

Answer 1

W rezultacie zgadywanie sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej:ZR(√Ax2+Bx+C,x)dx=ZRx√A+t,t2−CB−2t√A!tB−t2√A−√AC(B−2t√A)22dt.GdybyC >0, to możemy położyć√Ax2+Bx+C,x) =xt+√C. Skąd wyli-czamyx=2t√C−BA−t2orazdx=t2√C−Bt+A√C(A−t2)22dt.W rezultacie:ZR(√Ax2+Bx+C,x)dx=ZRxt+√C,2t√C−BA−t2!t2√C−Bt+A√C(A−t2)22dt.Gdybyśmy w pierwiastku trójmianuAx2+Bx+Czastąpili wielomianem wyż-szego stopnia, to bez specjalnych dodatkowych założeń zgadywanie takich całeknieoznaczonych jest niewykonalne w obrębie funkcji elementarnych! PrzykładowoZdxq(1−x2)(1−kx2).To samo dotyczy całekZsinxxdx,Zdx√cosxdxlubZe−1x2dx. Jednakże dlaszeregów potęgowych mamy wzórZ∞Xn=0anxn=C+∞Xn=0ann+ 1xn+1,który pozwala znajdywać całki funkcji analitycznych (tj. przedstawialnych w po-staci szeregu potęgowego) z dowolną dokładniością może byc ja nie wiem